Mitkä ovat arvot m, joille yhtälö x (x-1) (x-2) (x-3) = m on kaikki juurien todelliset luvut?

Vastaus:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Selitys:

Meillä on se #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Nyt tehdä

# X ^ 4-6 x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # ja yhtälöiset kertoimet, joita saamme

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

Ratkaisu # A, b, c # saamme

# A = 3/2, b = -5/2, c = 1/16 (9-16m) # tai

# X ^ 4-6 x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 #

Tämän yhtälön ratkaiseminen # X # saamme

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Nämä juuret ovat todellisia, jos # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # tai

#m le (5/4) ^ 2-1 #