Z1 + z2 = z1 + z2, jos ja vain jos arg (z1) = arg (z2), jossa z1 ja z2 ovat kompleksilukuja. millä tavalla? selittäisitkö!

Vastaus:

Ystävällisesti katso keskustelu vuonna Selitys.

Selitys:

Päästää, # | Z_j | = R_j; r_j gt 0 ja arg (z_j) = theta_j (-pi, pi); (j = 1,2).

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2.

Selvästi, # (Z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + R_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Muista tuo, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + R_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (tähti ^ 1) #.

# "Nyt kun otetaan huomioon, että" | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, ts..

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (tähti ^ 2).

alkaen # (tähti ^ 1) ja (tähti ^ 2) # saamme, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2.

# "Peruutus" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0.

#:. (theta_1-theta_2) = 2 kpi + -0, k ZZ: ssä.

# "Mutta," theta_1, theta_2 kohdassa (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0, tai, #

# theta_1 = theta_2, "antaa," arg (z_1) = arg (z_2), # kuten Haluttu!

Olemme siis osoittaneet, että

# | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2).

päinvastainen voidaan osoittaa samoilla linjoilla.

Nauti matematiikasta.