Miten löydät tehosarjaesityksen (arctan (x)) / (x) ja mikä on lähentymissäde?

Vastaus:

Integroi. Tjohdannaisen tehosarja #arctan (x) # jaetaan sitten # X #.

Selitys:

Tiedämme voiman sarjan edustuksen # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # niin että #absx <1 #. Niin # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Niin #arctan (x) # on #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = summa_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Jaat sen # X #, saat selville, että #arctan (x) / x # on #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Sanokaamme #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Jotta löydettäisiin tämän tehosarjan lähentymissäde, arvioimme #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Joten jos haluamme tehosarjan lähentyvän, tarvitsemme #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, joten sarja konvergoituu, jos #absx <1 #, mikä ei ole yllättävää, koska se on tehosarjan edustuksen lähentymissäde #arctan (x) #.