Miten ratkaista 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Vastaus:

Voimme ratkaista tämän kysymyksen graafisesti.

Selitys:

Annettu yhtälö # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # voidaan kirjoittaa uudelleen

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ota nämä kaksi erillistä toimintoa

#f (x) = 2e ^ (x) # ja #g (x) = 7-2x # ja piirrä niiden kaavio; heidän leikkauspiste tulee olemaan ratkaisu annettuun yhtälöön # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Tämä näkyy alla: -

Vastaus:

Tämä on yli lukion algebran, ja paras tapa ratkaista se on kysyä Wolfram Alpha, joka vastaa #x noin.94 #.

Selitys:

Ratkaista

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Tällaiset kysymykset ovat yleensä kovia, ja vastaus riippuu siitä, oletko Algebrassa lukiossa tai syvemmälle matematiikkaan.

Lukiossa paras tapa on vain kokeilla pieniä numeroita ja nähdä, toimivatko he. (Tämä toimii monissa lukuisissa lukion matematiikkaongelmissa, fyi.) On todella vain yksi järkevä # X # se tekee # E ^ x # järkevä, # X = 0 #, mikä ei ole ratkaisu. Joten arvaus ei tule toimimaan täällä.

Jos likiarvo on tarpeeksi hyvä, voimme kuvata sen tai kaavion # 2e ^ x # ja # 7-2x # ja katso, missä he kohtaavat.

Riippumatta siitä, missä tasossa, kun kohtaat kovan kaltaisen kaltaisen, se on yleensä hyvä siirtyä kysyä käytettävissä olevalta asiantuntijalta, joka on Wolfram Alpha.

Näemme, että Alpha antoi meille likimääräisen vastauksen, melko lähellä 1: tä ja jopa kaavaa käyttäen W (x): tä, jota Lambertin tuoteloki, joka ei yleensä kuulu lukion matematiikkaan.

Ei ole vastausta tavallisilla toiminnoilla ja toiminnoilla, joita tiedämme lukiossa Algebra. Tämä on yleensä totta, kun lisätään termi # X # eksponentissa johonkin # X # näkyy lineaarisena tai suurempana tehona.

Se on vastauksen loppu useimmille opiskelijoille. Mutta voimme mennä syvemmälle. Tuotteen loki on mielenkiintoinen toiminto.Harkitse yhtälöä

#k = xe ^ x #

Oikealla puolella on kasvava toiminto # X #, joten se ylittää # K # ennemmin tai myöhemmin. Lokin ottaminen ei oikeastaan saa meitä mihinkään: #ln k = ln x + x #.

Tarvitsemme jotain lokia, mutta ei sellaista, joka on käänteinen # E ^ x #. Sen on oltava käänteinen # XE ^ x #. Sitä kutsutaan tuoteselosteeksi tai Lambert W -toiminnoksi, joka määritellään seuraavasti:

#k = xe ^ x # on todellinen ratkaisu #x = W (k) #.

Me rajoitamme huomiomme todellisuuteen. On hauskaa yrittää löytää # W #s ominaisuudet. Meille on annettu perusperiaate

#W (xe ^ x) = x #

Let's let # X = te ^ y # seuraavassa #W (x) = y #. Nyt

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Hyvä juttu. Miten

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Lokien ottaminen, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # oletetaan, että lokit on määritelty

Nyt kun näet, mikä on W: n kanssa työskentely, katso, voitko käyttää sitä ratkaisemaan yhtälön tai tarkistaa Alpha-ratkaisun

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #