Miten löydän integraalin int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Integroinnin käyttäminen osittain,

# Intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2 -ospiksi + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Muista, että osien integrointi käyttää kaavaa:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

Joka perustuu johdannaisten tuotesääntöihin:

#uv = vdu + udv #

Tämän kaavan käyttämiseksi meidän on päätettävä, mikä termi on # U #, ja mikä on # Dv #. Hyödyllinen tapa selvittää, mikä termi menee missä on ILATE menetelmä.

Inverse Trig

logaritmit

Algebra

Trig

exponentials

Tämä antaa sinulle tärkeysjärjestyksen, jota käytetään termillä "# U #", niin mikä tahansa jää jäljelle tulee meidän # Dv #. Toimintamme sisältää # X ^ 2 # ja a # Sinpix #, joten ILATE-menetelmä kertoo meille # X ^ 2 # pitäisi käyttää meidän # U #, koska se on algebrallinen ja suurempi luettelossa kuin # Sinpix #, joka on trig.

Meillä on nyt:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Seuraavat kohteet, joita tarvitsemme kaavassa, ovat "# Du #"ja"# V #", jonka saamme löytämällä johdannaisen"# U #"ja integraali"# Dv #'.

Johdannainen saadaan käyttämällä tehosääntöä:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Integroille voidaan käyttää korvaamista.

käyttämällä #w = pix #, me päädymme # (- 1 / pi) cosw #

Meillä on nyt:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Yhdistäminen alkuperäiseen Integration by Parts -muotoon on seuraava:

# Intu # # Dv # = #uv - intv # # Du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2kospiksi - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Meillä on nyt toinen integraali, jota meidän on käytettävä osien integraation avulla vielä kerran ratkaistaksemme. Vetämällä #2# ulos integraalista, olemme jääneet #u = x #, #dv = cospix #. Menemällä läpi saman prosessin aikaisemmin, saamme:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Tämä viimeinen integraali, jonka voimme ratkaista viimeisellä korvauskierroksella, antaa meille:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Me kaikki olemme löytäneet yhdessä, meillä on nyt:

# (- 1 / pi) x ^ 2 -ospiksi - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Nyt voimme yksinkertaistaa negatiivisia ja sulkeutumisia saadaksemme lopullisen vastauksen:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2 -ospiksi + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Tärkeintä on muistaa, että päädytte useiden termien ketjun lisäämiseen tai vähentämiseen. Jatkuvasti jakautat integraalin pienempiin, hallittaviin osiin, joita sinun on seurattava lopullista vastausta varten.