Mikä on todennäköisyys voittaa seuraavassa äärettömän toistuvassa pelissä?

Vastaus:

# "Vastaus D)" #

Selitys:

# "Se on ainoa looginen vastaus, muut ovat mahdotonta." #

# "Tämä on peluri pilaantumisongelma." #

# "Peluri alkaa k dollarilla." #

# "Hän soittaa kunnes hän saavuttaa G dollarin tai laskee selkänsä 0: een." #

#p = "mahdollisuus, että hän voittaa yhden dollarin yhdessä pelissä."

#q = 1 - p = "mahdollisuus, että hän menettää yhden dollarin yhdessä pelissä."

# "Soita" r_k "todennäköisyyteen, että hän saa tuhoutua." #

# "Sitten meillä on" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "jossa" 1 <= k <= G-1 #

# "Voimme kirjoittaa tämän yhtälön p + q = 1 vuoksi seuraavasti:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Nyt meillä on tapaus" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = summa_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = summa_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "For" r_k "meillä on" #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Niinpä pelaaja A alkaa täällä, kun k = dollari ja toistetaan" #

# "hän tuhoutuu tai sillä on + b dollari." #

# => k = a, "ja" G = a + b #

# "Joten kertoimet, jotka hän tuhoutuu, ovat" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Kertoimet, jotka hän voittaa, ovat" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Vastaus D)" #