Miten jaat (i + 3) / (-3i +7) trigonometrisessä muodossa?

Vastaus:

# 0,311 + 0.275i #

Selitys:

Ensin kirjoitan lausekkeet uudelleen # A + bi #

# (3 + i) / (7-3i) #

Monimutkainen numero # Z = a + bi #, # Z = r (costheta + isintheta) #, missä:

# R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #
# Theta = tan ^ -1 (b / a) #

Soitetaan # 3 + i # # Z_1 # ja # 7-3i # # Z_2 #.

varten # Z_1 #:

# Z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# R_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# Theta_1 = tan ^ -1 (1/3) = 0,32 ^ c #

# Z_1 = sqrt (10) (cos (0,32) + isin (0,32)) #

varten # Z_2 #:

# Z_2 = R_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# R_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# Theta_2 = tan ^ -1 (-3/7) = - 0,40 ^ c #

Kuitenkin, koska # 7-3i # on neljänneksellä 4, meidän on saatava positiivinen kulmaekvivalentti (negatiivinen kulma kulkee myötäpäivään ympyrän ympäri, ja tarvitsemme vastapäivään kulman).

Saadaksesi positiivisen kulman vastaavan, lisätään # 2pi #, # Tan ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5,88 ^ c #

# Z_2 = sqrt (58) (cos (5,88) + isin (5,88)) #

varten # Z_1 / z_2 #:

# Z_1 / z_2 = r_1 / R_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#COLOR (valkoinen) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin tan ^ -1 (1/3) - (tan ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#COLOR (valkoinen) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2 n + isin tan ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2 n) #

#COLOR (valkoinen) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5,56) + isin (-5,56)) #

#COLOR (valkoinen) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5,56) + isqrt (145) / 29sin (-5,56) #

#COLOR (valkoinen) (z_1 / z_2) = 0,311 + 0.275i #

Todiste:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + 7i + 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21 i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16 i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# I ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16 i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i

Miten jaat (2i + 5) / (-7 i + 7) trigonometrisessä muodossa?

0,54 (cos (1,17) + isin (1,17)) Jaetaan ne kahteen erilliseen kompleksinumeroon, joista yksi on aluksi, joista toinen on lukija, 2i + 5 ja yksi nimittäjä, -7i + 7. Haluamme saada ne lineaarisesta (x + iy) muodosta trigonometriseen (r (costheta + isintheta), jossa theta on argumentti ja r on moduuli. 2i + 5 saamme r = sqrt (2 ^ 2 + 5 ^ 2 ) = sqrt29 tantheta = 2/5 -> theta = arctan (2/5) = 0,38 "rad" ja -7i + 7 saamme r = sqrt ((- 7) ^ 2 + 7 ^ 2) = 7sqrt2 toinen argumentti on vaikeampi, koska sen on oltava -pi: n ja pi: n välillä. Tiedämme, että -7i + 7: n täytyy olla neljä

Miten jaat (i + 2) / (9i + 14) trigonometrisessä muodossa?

0.134-0.015i Kompleksinumerolle z = a + bi voidaan esittää z = r (costeta + isintheta), jossa r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) ja theta = tan ^ -1 (b / a ) (2 + i) / (14 + 9i) = (sqrt (2 ^ 2 + 1 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (1/2)) + isin (tan ^ -1 (1/2)) )) / (sqrt (14 ^ 2 + 9 ^ 2) (cos (tan ^ -1 (9/14)) + isin (tan ^ -1 (9/14)))) ~~ (sqrt5 (cos (0,46 ) + isin (0,46))) / (sqrt277 (cos (0,57) + isin (0,57))) Annettu z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) ja z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2), z_1 / z_2 = r_1 / r_2 cos (theta_1-teta2) + isiini (teta_1-teta2)) z_1 / z_2 = sqrt5 / sqrt277 (cos (0,46-0,57) + isiini (0,46-0,57)) = sqrt

Miten jaat (9i-5) / (-2i + 6) trigonometrisessä muodossa?

Frac {-5 + 9i} {6-2i} = {-12 + 11i} / 10, mutta en päässyt trigonometriseen muotoon. Nämä ovat mukavia monimutkaisia numeroita suorakulmaisessa muodossa. On aika tuhlata aikaa muuntaa ne polaarikoordinaateiksi niiden jakamiseksi. Kokeile molempia tapoja: frac {-5 + 9i} {6-2i} cdot {6 + 2i} / {6 + 2i} = {-48 + 44i} / {40} = {-12 + 11i} / 10 Se oli helppoa. Kontrastaa. Polaarikoordinaateissa meillä on -5 + 9i = qrt {5 ^ 2 + 9 ^ 2} e ^ {i teksti {atan2} (9, -5)} Kirjoitan tekstin {atan2} (y, x) korjaa kaksi parametria, neljän kvadrantin käänteinen tangentti. 6-2i = qrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2}