Mikä on kaava tavallisen dodekagonin alueen löytämiseksi?

Vastaus:

#S _ ("säännöllinen dodekagon") = (3 / (tan 15 ^ @)) "puoli" ^ 2 ~ = 11.196152 * "puoli" ^ 2 #

Selitys:

Ajattelemalla ympyrään kirjoitettua säännöllistä dodekagonia, voimme nähdä, että sen muodostavat 12 tasakylkistä kolmiota, joiden sivut ovat ympyrän säde, ympyrän säde ja dodekagonin puoli; kussakin näistä kolmioista dodekagonin puolella oleva kulma on yhtä suuri kuin #360^@/12=30^@#; kunkin kolmion muoto on # ("Sivu" * "korkeus) / 2 #, meidän on vain määritettävä korkeus kohtisuorassa dodekagonin puolelle ongelman ratkaisemiseksi.

Mainitussa tasakylkisessä kolmiossa, jonka pohja on dodekagonin puoli ja jonka yhtäläiset puolet ovat ympyrän säteet, joiden kulma on vastapäätä alustaa (# Alpha #) on yhtä suuri kuin #30^@#, siinä on vain viiva, joka on piirretty siitä pisteestä, jossa ympyrän säteet vastaavat kohta C) joka sieppaa kohtisuorasti dodekagonin puolelle: tämä linja rajaa kulmaa # Alpha # sekä määrittelee kolmion korkeuden pisteen C ja tukiaseman sieppauksen välillä (kohta M), samoin kuin jaetaan pohja kahteen yhtä suureen osaan (kaikki siksi, että kaksi näin muodostettua pienempää kolmiota ovat kongruentteja).

Koska mainitut kaksi pientä kolmiota ovat oikeat, voimme määrittää tasakylkisen kolmion korkeuden tällä tavalla:

#tan (alpha / 2) = "vastakkainen katetus" / "viereinen katetti" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("sivu" / 2) / "korkeus" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

Sitten meillä on

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (kolmio) = 12 * (("sivu") ("korkeus")) / 2 = 6 * ("sivu") ("sivu") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("sivu") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #