Mikä on X: n varianssi, jos sillä on seuraava todennäköisyystiheysfunktio ?: f (x) = {3x2 jos -1 <x <1; 0 muuten}

Vastaus:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # joka voi kirjoittaa:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

Selitys:

Oletan, että kysymys on tarkoitus sanoa

#f (x) = 3x ^ 2 ", kun" -1 <x <1; 0 "muuten" #

Etsi varianssi?

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

Laajentaa:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucancel (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2kanssa (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

korvike

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

Missä, # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # ja # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

Joten lasketaan # sigma_0 ^ 2 "ja" mu #

symmetrisesti # Mu = 0 # katsotaan:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #