Mikä on aika_ {n = 0} ^ {oo} (fr {1} {x (1-x)}) ^ n?

Vastaus:

#x kohdassa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Selitys:

Voimme saada sen #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # on geometrinen sarja, jossa on suhde # R = 1 / (x (1-x)) #.

Nyt tiedämme, että geometrinen sarja konvergoituu, kun suhteen absoluuttinen arvo on pienempi kuin 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Meidän on siis ratkaistava tämä eriarvoisuus:

# 1 / (x (1-x)) <1 ja 1 / (x (1-x))> -1 #

Aloitetaan ensimmäisestä:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Voimme helposti todistaa, että lukija on aina positiivinen ja nimittäjä on negetive intervallissa #x kohdassa (-oo, 0) U (1, oo) #.

Joten tämä on ratkaisu ensimmäiseen epätasa-arvoon.

Katsotaanpa toinen:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Tämä eriarvoisuus on ratkaisu intervalliin:

#x kohdassa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Joten meidän sarjamme lähentyvät, jos molemmat välein ovat totta.

Näin ollen lähentymisväli on:

#x kohdassa (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #