Jos kivi pudotetaan 174,9 m: n korkeudelle helikopterista, joka nousee nopeudella 20,68 m / s, kuinka kauan kivi pääsee maahan?

Vastaus:

8,45 sekuntia.

Selitys:

'G' -suunta kiihtyvyydestä riippuen riippuu määrittämästämme koordinaattijärjestelmästä. Jos esimerkiksi määritettäisiin alaspäin, kun positiivinen 'y', g olisi positiivinen. Yleissopimus tulee nousemaan positiiviseksi, joten g on negatiivinen. Tätä me käytämme, ja me otamme myös maan #y = 0 #

#COLOR (punainen) ("EDIT:") # Olen lisännyt lähestymistavan käyttämällä kinemaattisia yhtälöitä, joita opit alussa. Kaikki, mitä olen tehnyt täällä, johtuu näistä laskelmista, mutta arvostan, että et ehkä ole katsonut sitä.Selaa alaspäin ei-laskennallisen lähestymistavan punaiselle nimikkeelle.

Voimme tarkastella tätä paljon tarkemmin aloittamalla tyhjästä Newtonin toisen lain kanssa. Kun kivi pudotetaan, sillä on alku- nopeus, mutta ainoa siihen vaikuttava voima johtuu painovoimasta. Olemme määrittäneet ylöspäin positiivisena y-suunnana niin, että Newtonin toinen laki voi kirjoittaa

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Tämä johtuu siitä, että kivi kiihtyy kohti maata, jota olemme määrittäneet negatiiviseksi suunnaksi.

Tämän lausekkeen integrointi antaa:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # on kiven nopeus, joten kun aloitusnopeutta käytetään #y '(0) = + 20,68 # saavamme

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Tämä mallinnaa nopeuden ja on järkevää, jos ajattelet sitä. Kun se vapautetaan, sillä on sama nopeus kuin helikopterilla, ja se siirtyy siten ylöspäin jonkin aikaa, mutta ajan myötä se pysähtyy ja alkaa sitten laskea.

Jos haluat löytää siirtymän, integroimme uudelleen:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Käytä alkutilaa #y (0) = 174.9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

# on C = 174,9 #

# täten y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Voit ratkaista ajan päästäksesi maahan # Y = 0 # ja ratkaise neliö:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174.9 = 0 #

Tämä on ehdottomasti neljännen kaavan mukainen työ:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

ottaen #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 tai -4.23 #

Hävitämme negatiivisen ratkaisun, joten kivi kestää 8,45 sekuntia.

#color (punainen) ("No Calculus Approach") #

Tiedämme sen #v = v_0 + klo # missä # V # on lopullinen nopeus, # V_0 # on alkunopeus, # A # on kiihtyvyys ja # T # on aika, jota se haetaan.

Kuten aiemmin sanoin, ylöspäin suuntautuva koordinaattijärjestelmä # G # tulee olemaan negatiivinen, mutta kivi siirtyy aluksi ylöspäin sen alkunopeuden vuoksi. Haluamme löytää pisteen, jossa se lakkaa liikkumasta ylöspäin:

Sarja #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

# täten t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Käytä nyt

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # uudelleen #a = -g #

niin #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21,8m #

Tämä tarkoittaa, että kivi pysähtyy hetkellisesti #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196,7m #

Nyt meillä ei ole mitään ärsyttäviä aloitusnopeuksia, joita vain taistella, vain suora lasku tästä korkeudesta:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Koska ylöspäin on positiivinen, putoaminen johtaa negatiiviseen siirtymään

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196,7) / 9,8) #

#t = 8.45 # tarvittaessa.

Vastaus:

8.45s

Selitys:

Helikopteri pakottaa nopeuden # U = 20.68m / s # Siten siitä pudotetulla kivellä on sama aloitusnopeus kuin helikopterin nousevalla nopeudella, mutta alaspäin suuntautuva painovoima antaa sille alaspäin suuntautuvan kiihtyvyyden (g).

Ottaen huomioon kiven pudottamisen helikopterista lähtökohtana etenemme seuraavasti

Jos ylöspäin alkunopeus positiivinen sitten alaspäin suuntautuva kiihtyvyys (g) olisi otettava negatiivinen ja alamäen siirtymä (h) olisi myös otettava huomioon negatiivinen.

#color (punainen) ("Täällä ylöspäin + ve ja alas -ve") #

Nyt lasketaan aika (t) saavutettaessa maata

Joten meillä on

# u = + 20,68m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#T =? #

Näiden asetusten lisääminen liikkeen yhtälöön painovoiman mukaan (käsittää muuttujat h, u, g, t) saamme

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174,9 = 0 #

# => T = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8.45s #

Sama yhtälö (1) saadaan, jos suunta käännetään#color (punainen) ("i.e. edestakaisin ja alaspäin + ive.") #