Kolmen kokonaisluvun neliön summa on 324. Miten löydät kokonaisluvut?

Vastaus:

Ainoa ratkaisu, jossa on erilaisia positiivisia kokonaislukuja, on #(2, 8, 16)#

Täydelliset ratkaisut ovat:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Selitys:

Voimme pelastaa itsellemme jonkin verran vaivaa harkitsemalla, millaisia neliöitä otetaan.

Jos # N # on silloin pariton kokonaisluku #n = 2k + 1 # jokin kokonaisluku # K # ja:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Huomaa, että tämä on lomakkeen pariton kokonaisluku # 4p + 1 #.

Joten jos lisäät kahden parittoman kokonaisluvun neliöt, saat aina lomakkeen kokonaisluvun # 4k + 2 # jokin kokonaisluku # K #.

Ota huomioon, että #324 = 4*81# on muotoa # 4k #, ei # 4k + 2 #.

Näin ollen voimme päätellä, että kaikkien kolmen kokonaisluvun on oltava tasaisia.

Siitä lähtien on olemassa joukko ratkaisuja kokonaislukuihin # n ^ 2> = 0 # mikä tahansa kokonaisluku # N #.

Harkitse ratkaisuja ei-negatiivisissa kokonaisluvuissa. Voimme lisätä vaihtoehtoja, joissa on lopussa negatiivisia kokonaislukuja.

Oletetaan, että suurin kokonaisluku on # N #, sitten:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Niin:

# 12 <= n <= 18 #

Tämä johtaa kahden muun kokonaislukumäärän mahdollisiin summiin:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Jokaiselle näistä arvoista # K #Oletetaan, että suurin jäljellä oleva kokonaisluku on # M #. Sitten:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

ja me tarvitsemme # K-m ^ 2 # olla täydellinen neliö.

Näin ollen löydämme ratkaisuja:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Joten ainoa ratkaisu, jossa on erilaisia positiivisia kokonaislukuja, on #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Se on helppo osoittaa # X, y # ja # Z # täytyy olla jopa siksi, että teet # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # ja # Z = 2m_z # meillä on

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # tai

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # mikä on järjetöntä.

Joten harkitsemme nyt

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Nyt tarkastellaan identiteettiä

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

kanssa # L, m, n # mielivaltaiset positiiviset kokonaisluvut ja tekeminen

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

meillä on

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # tai ratkaisu # N #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

niin tarvitsemme toteutettavuutta

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # tai

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

niin niin # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # meillä tulee olemaan

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # niin toteutettavissa # Q # olemme

#q_f = {80,72,56,32} # koska #q equiv 0 mod 4 #

joten meidän on löydettävä

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = Q I- # tai

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Tässä, koska voimme helposti tarkistaa, ainoa ratkaisu on

# L_1 = 2, m_1 = 4 # koska

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

ja näin ollen # n_1 = {4,5} #

ja korvaamalla me saamme

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

ratkaisu

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #