Kysymys # 35a7e

Vastaus:

Kuten alla olevissa huomautuksissa mainitaan, tämä on MacLaurin-sarja #f (x) = cos (x) #, ja tiedämme, että tämä yhtyy # (- oo, oo) #. Jos kuitenkin haluat nähdä prosessin:

Selitys:

Koska nimittäjässä on tekijä, käytämme suhde, koska tämä helpottaa yksinkertaistamista. Tämä kaava on:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Jos tämä on <1, sarjasi konvergoituu

Jos tämä on> 1, sarjasi erottuu

Jos tämä on = 1, testi on epävarma

Joten, tee tämä:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Huomaa: Ole varovainen, kun kytket (k + 1) -liitännän. 2k muuttuu 2: ksi (k + 1), EI 2k + 1.

Olen kerrottu # X ^ (2k) / ((2k)!) # sen sijaan että jakaisit vain työn helpottamiseksi.

Nyt, aloitetaan algebra. Absoluuttisesta arvosta johtuen vuorottelevat termit (ts. # (- 1) ^ k #) vain peruutetaan, koska meillä on aina myönteinen vastaus:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Voimme peruuttaa meidän # X ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Nyt meidän on peruutettava tekijät.

Muista tuo # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Myös, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Ilmoitus:

# (2k)! = väri (punainen) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * väri (punainen) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Kuten näette, me # (2k)! # on olennaisesti osa # (2k + 2)!. Voimme käyttää tätä peruuttaaksesi kaikki yhteiset termit:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Peruuta (väri (punainen) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * peruuta (väri (punainen) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Tämä lähtee

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Nyt voimme arvioida tätä rajaa. Huomaa, että koska emme ota tätä rajaa suhteessa # X #, voimme arvioida sen:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Niin kuin näette, tämä raja = 0, joka on alle 1. Nyt kysymme itseltämme: onko mitään arvoa # X # jonka raja olisi 1? Ja vastaus on ei, koska kaikki kerrottuna 0: lla on 0.

Joten, koska #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) <1 # kaikkien arvojen osalta # X #, voimme sanoa, että sillä on lähentymisväli # (- oo, oo) #.

Toivottavasti se auttoi:)