Todista, että teho on kenttä?

Vastaus:

Sarjan tehosarja on kommutatiivinen rengas liiton ja risteyksen luonnollisissa toiminnoissa, mutta ei kyseisten operaatioiden kenttä, koska siinä ei ole käänteisiä elementtejä.

Selitys:

Ottaen huomioon kaikki setit # S #, harkitse tehonsarja # 2 ^ S # of # S #.

Tällä on liiton luonnollista toimintaa # Uu # joka käyttäytyy kuin lisä, jolla on identiteetti # O / # ja risteys # Nn # joka käyttäytyy identiteettinä # S #.

Yksityiskohtaisemmin:

• # 2 ^ S # on suljettu alla # Uu #

  Jos #A, B 2 ^ S # sitten #A uu B 2 ^ S #

• On olemassa identiteetti # O / in 2 ^ S # varten # Uu #

  Jos #A 2 ^ S # sitten #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # on assosiatiivinen

  Jos #A, B, C 2 ^ S # sitten #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # on kommutatiivinen

  Jos #A, B 2 ^ S # sitten #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # on suljettu alla # Nn #

  Jos #A, B 2 ^ S # sitten #A nn B 2 ^ S #

• On olemassa identiteetti #S 2 ^ S # varten # Nn #

  Jos #A 2 ^ S # sitten #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # on assosiatiivinen

  Jos #A, B, C 2 ^ S # sitten #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # on kommutatiivinen

  Jos #A, B 2 ^ S # sitten #A nn B = B nn A #

• # Nn # on vasemmalla ja oikealla jakelulla # Uu #

  Jos #A, B 2 ^ S # sitten #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  ja # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Niin # 2 ^ S # täyttää kaikki tarvittavat aksiaomit, jotta ne voivat olla kommutatiivinen rengas, johon on lisätty # Uu # ja kertolasku # Nn #.

Jos #S = O / # sitten # 2 ^ S # sillä on yksi elementti, nimittäin # O / #, joten siinä ei ole erillisiä additiivisia ja multiplikaattisia identiteettejä, eikä se siksi ole kenttä.

Muuten huomaa # S # ei ole käänteinen # Uu # ja # O / # ei ole käänteinen # Nn #. Niin # 2 ^ S # ei muodosta kenttää käänteisten elementtien puuttumisen vuoksi.