Miten erotat f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) tuotesääntöä käyttäen?

Vastaus:

Käytä ensin tuotosääntöä

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Käytä sitten derivaatan ja funktion johdannaisten määritelmien lineaarisuutta

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xxx- xsinx + 2xcosx #

Selitys:

Tuotesääntö sisältää toiminnon johdannaisen, joka on kahden (tai useamman) funktion kerrannaisia muodossa #f (x) = g (x) * h (x) #. Tuotesääntö on

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Sovellettaessa sitä tehtävämme

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) #

Meillä on

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Lisäksi meidän on käytettävä johdannaisen lineaarisuutta

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

Sovellamme tätä meillä

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

Meidän on tehtävä näiden toimintojen yksittäiset johdannaiset, joita käytämme

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Nyt meillä on

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

Tässä vaiheessa teemme vain vähän

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2e ^ xxx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xxx- xsinx + 2xcosx #