Lattialle vuotava vesi muodostaa pyöreän altaan. Altaan säde kasvaa nopeudella 4 cm / min. Kuinka nopeasti allasalue kasvaa, kun säde on 5 cm?

Vastaus:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Selitys:

Ensinnäkin meidän pitäisi alkaa yhtälöstä, jonka tiedämme liittyvän ympyrän, altaan ja sen säteen alueelle:

# A = pir ^ 2 #

Haluamme kuitenkin nähdä, kuinka nopeasti altaan alue kasvaa, mikä tuntuu paljon samalta kuin … mikä kuulostaa paljon johdannaiselta.

Jos otamme johdannaisen # A = pir ^ 2 # ajan suhteen, # T #, näemme, että:

# (DA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Älä unohda, että ketjusääntöä sovelletaan oikealla puolella # R ^ 2 #- tämä on samanlainen kuin implisiittinen erottelu.)

Joten haluamme määrittää # (DA) / dt #. Kysymys kertoi meille, että # (Dr) / dt = 4 # kun se sanoi "poolin säde kasvaa nopeudella #4# cm / min, "ja tiedämme myös, että haluamme löytää # (DA) / dt # kun # R = 5 #. Näiden arvojen kytkeminen sisään, näemme, että:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Voit sanoa tämän sanoen:

Altaan pinta-ala kasvaa nopeudella # Bb40pi # cm# "" ^ PN2 #/ min, kun ympyrän säde on # BB5 # cm.

Kolmion korkeus kasvaa nopeudella 1,5 cm / min, kun taas kolmion pinta-ala kasvaa nopeudella 5 neliömetriä / min. Millä nopeudella kolmio muuttuu, kun korkeus on 9 cm ja alue on 81 neliömetriä?

Tämä on siihen liittyvä muutoshinta. Kiinnostavat muuttujat ovat a = korkeus A = alue ja koska kolmion pinta-ala on A = 1 / 2ba, tarvitsemme b = base. Annetut muutosnopeudet ovat yksikköinä minuutissa, joten (näkymätön) riippumaton muuttuja on t = aika minuutteina. Meille annetaan: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Ja meitä pyydetään löytämään (db) / dt kun a = 9 cm ja A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, erottelemalla suhteessa t: hen saamme: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Tarvitsemme tuotesäännön oik

Goode-perhe rakensi takapihalleen suorakulmaisen uima-altaan. Altaan lattian pinta-ala on 485 5/8 neliömetriä. Mikäli altaan leveys on 18 1/2 metriä, mikä on altaan pituus?

Altaan pituus on 26 1/4 ft. Pituus (x) ja leveys (y) suorakulmion pinta-ala on A = x * y; A = 485 5/8 = 3885/8 sqft, y = 18 1/2 = 37/2 ft:. x = A / y tai x = (3885/8) - :( 37/2) tai x = 3885/8 * 2/37 tai x = 105/4 = 26 1/4 jalkaa Altaan pituus on 26 1 / 4 jalkaa [Ans]

Vesi vuotaa ulos käännetystä kartiomaisesta säiliöstä nopeudella 10 000 cm3 / min samalla kun vettä pumpataan säiliöön vakionopeudella Jos säiliön korkeus on 6 m ja halkaisija ylhäällä on 4 m ja jos vedenpinta nousee 20 cm / min nopeudella, kun veden korkeus on 2m, miten löydät sen, kuinka nopeasti vettä pumpataan säiliöön?

Olkoon V säiliössä olevan veden tilavuus, cm ^ 3; anna h olla veden syvyys / korkeus, cm; ja anna r olla veden pinnan säde (ylhäällä), cm. Koska säiliö on käänteinen kartio, niin myös veden massa. Koska säiliön korkeus on 6 m ja säde 2 m: n yläosassa, samanlaiset kolmiot viittaavat siihen, että fr {h} {r} = fr {6} {2} = 3 niin, että h = 3r. Käänteisen vesikartion tilavuus on sitten V = fr {1} {3} r r {{}} = r = {3}. Nyt erotella molemmat puolet ajan t suhteen (minuutteina) saadaksesi frac {dV} {dt} = 3 r r {{}} cdot fr {dr}