Mikä on kiinteän pinnan pinta-ala, joka on luotu pyörittämällä f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x [1,3] x-akselin ympäri?

Vastaus:

Määritä merkki ja yhdistä osat. Alue on:

# A = 39,6345 #

Selitys:

Sinun täytyy tietää, onko #F (x) # on negatiivinen tai positiivinen #1,3#. Siksi:

# XE ^ -x-XE ^ x #

#X (e ^ -x-e ^ x): #

Merkin määrittämiseksi toinen tekijä on positiivinen, kun:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ X-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ X-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Siitä asti kun # E ^ x> 0 # mille tahansa #x kohdassa (-oo, + oo) # epätasa-arvo ei muutu:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2 x)> 0 #

# E ^ (2 x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#X <0 #

Toiminto on siis vain positiivinen, kun x on negatiivinen ja päinvastoin. Koska on olemassa myös # X # tekijä vuonna #F (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x): #

Kun yksi tekijä on positiivinen, toinen on negatiivinen, joten f (x) on aina negatiivinen. Siksi alue:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x)) dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) "dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Laskimen käyttäminen:

# A = 39,6345 #

Vastaus:

Pinta-ala = 11,336,8 neliömetriä

Selitys:

annettu #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

yksinkertaisuuden vuoksi #F (x) = y #

ja # y = xe ^ -x -xe ^ x #

ensimmäinen johdannainen # Y '# tarvitaan pinta-alan laskennassa.

alue # = 2pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

missä # Ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

alue # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Määritä ensimmäinen johdannainen # Y '#:

eriyttää # y = x (e ^ -x - e ^ x) # käyttäen tuotteen kaavan johdannaista

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

yksinkertaistamisen ja faktoinnin jälkeen tulos on

ensimmäinen johdannainen # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Laske nyt alue:

Alue = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

alue # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

alue

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Tällaisten monimutkaisten integraalien osalta voimme käyttää Simpsonin sääntöä:

jotta

alue

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Pinta-ala = -11,336,804

tähän liittyy pyörimissuunta niin, että voi olla negatiivinen pinta-ala tai positiivinen pinta-ala. Tarkastellaanpa vain positiivista arvoa Area = 11336,804 neliöyksikköä