Mikä on osittaisen johdannaisen merkitys? Anna esimerkki ja auta minua ymmärtämään lyhyesti.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Toivon, että se auttaa.

Osittainen johdannainen liittyy olennaisesti kokonaisvaihteluun.

Oletetaan, että meillä on toiminto #f (x, y) # ja haluamme tietää, kuinka paljon se vaihtelee, kun otamme käyttöön jokaisen muuttujan lisäyksen.

Idean vahvistaminen, tekeminen #f (x, y) = k x y # haluamme tietää, kuinka paljon se on

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Toimintamme esimerkissä meillä on

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + ky dy + k dx dy #

ja sitten

#df (x, y) = k x y + k x dx + ky dy + k dx dy-k x y = k x dx + ky dy + k dx dy #

Valitsemalla #dx, dy # sitten mielivaltaisesti pieni #dx dy noin 0 # ja sitten

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

mutta yleensä

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx + 1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

nyt #dx, dy # mielivaltaisesti pieni

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

joten voimme laskea tietyn toiminnon kokonaisvaihtelun laskemalla osittaiset johdannaiset #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # ja yhdistäminen

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Täällä, määrät #f_ (x_i) # kutsutaan osittaisiksi johdannaisiksi ja ne voidaan myös esittää

# (osittainen f) / (osittainen x_i) #

Esimerkissä

#f_x = (osittainen f) / (osittainen x) = k x # ja

#f_y = (osittainen f) / (osittainen y) = k y #

HUOMAUTUS

#f_x (x, y) = lim _ ((dx- 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx- 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Cesareon edellä mainitun vastauksen täydentämiseksi annan vähemmän matemaattisesti tiukan johdanto-määritelmän.

Osittainen johdannainen, löyhästi puhuu, kertoo meille, kuinka paljon monimuuttujatoiminto muuttuu kun muut muuttujat pysyvät vakioina. Oletetaan esimerkiksi, että meille annetaan

#U (A, t) = a ^ 2t #

Missä # U # on tietyn tuotteen hyödyllisyys (onnellisuus), # A # on tuotteen määrä ja # T # on aika, jolloin tuotetta käytetään.

Oletetaan, että tuote, joka valmistaa tuotetta, haluaa tietää, kuinka paljon hyödyllisyyttä he voivat saada siitä pois, jos ne lisäävät tuotteen käyttöikää yhdellä yksiköllä. Osittainen johdannainen kertoo yritykselle tämän arvon.

Osittaista johdannaista kutsutaan yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella delta (#osittainen#), mutta on muitakin merkintöjä. Käytämme #osittainen# toistaiseksi.

Jos yritämme löytää, kuinka paljon tuotteen muutos hyödyttää 1 yksikön lisäystä ajassa, laskemme hyödyllisyyden osittaisen johdannaisen ajan suhteen:

# (PartialU) / (partialt) #

PD: n laskeminen pidämme muita muuttujia vakioina. Tässä tapauksessa käsittelemme # ^ 2 #, toinen muuttuja, ikään kuin se olisi numero. Palauta johdantolaskelmasta, että muuttujan johdannaisten johdannainen on vain vakio. Se on sama idea tässä: (osittainen) johdannainen # ^ 2 #, vakio, kertaa # T #, muuttuja on vain vakio:

# (PartialU) / (partialt) = a ^ 2 #

Näin ollen 1 yksikkö kasvaa tuotteen käytön aikana # ^ 2 # enemmän hyötyä. Toisin sanoen tuote muuttuu tyydyttävämmäksi, jos sitä voidaan käyttää useammin.

Osittaisista johdannaisista on paljon sanottavaa - itse asiassa koko perustutkinto- ja jatko-opinnot voidaan kohdistaa vain muutamia osittaisia johdannaisia sisältävien yhtälöiden ratkaisemiseen - mutta perusajatuksena on, että osittainen johdannainen kertoo meille kuinka paljon muutokset, kun muut pysyvät samoina.