Vastaus:
Alla
Selitys:
Jos haluat osoittaa, että epätasa-arvo on totta, käytät matemaattista induktiota
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # varten #n> 1 #
Vaihe 1: Todista # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Siitä asti kun # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #sitten #LHS> RHS #. Siksi se on totta # N = 2 #
Vaihe 2: Oletetaan totta # N = k # jossa k on kokonaisluku ja #k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
Vaihe 3: Milloin # N = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
eli # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # (1) oletuksena
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Siitä asti kun #K> 1 #sitten # -1 / sqrt (k + 1) <0 # ja siitä lähtien # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #sitten # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # niin # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
Vaihe 4: Todiste matemaattisesta induktiosta tämä epätasa-arvo on totta kaikille kokonaislukuille # N # suurempi kuin #1#
Mainittu epätasa-arvo on väärä.
Esimerkiksi #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (n. 2,3) peruuta (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (noin 2,8) #
Ristiriita.
