Mikä on ortogonaalinen matriisi? + Esimerkki

Vastaus:

Pohjimmiltaan ortogonaalinen #n xx n # matriisi edustaa kiertoa ja mahdollista heijastusta alkuperästä # N # mittatila.

Se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet.

Selitys:

Ortogonaalinen matriisi on sellainen, jonka käänteinen on yhtä suuri kuin sen transponointi.

Tyypillinen # 2 xx 2 # ortogonaalimatriisi olisi:

#Rtheta = ((cos-theta, sin-teeta), (-sieta, cos-theta)) #

joillekin #theta RR: ssä

Ortogonaalisen matriisin rivit muodostavat ortogonaalisen joukon yksikkövektoreita. Esimerkiksi, # (cos theta, sin theta) # ja # (- sin theta, cos theta) # ovat ortogonaalisia toistensa ja pituuden suhteen #1#. Jos kutsumme entistä vektoria # VECA # ja jälkimmäinen vektori # VecB #, sitten:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(täten ortogonaalinen)

# || VECA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(täten yksikön vektorit)

Sarakkeet muodostavat myös ortogonaalisen joukon yksikkövektoreita.

Ortogonaalisen matriisin determinantti on aina #+-1#. Jos se on #+1# sitten matriisia kutsutaan a erityinen ortogonaalinen matriisi.