Mikä on GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Vastaus:

Suurin yhteinen jakaja #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ja #2^8+1# on #1#

Selitys:

Ota huomioon, että:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

on ensiluokkainen - itse asiassa yksi harvoista tunnetuista Fermat-prime-numeroista.

Joten ainoat mahdolliset yhteiset tekijät #2^8+1# ja #2^32-2^24+2^16-2^8+1# olemme #1# ja #257#.

Kuten olet todennut kysymyksessä:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

on muotoa:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Yksi tekijä # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # of #2^40+1# vastaa yhtenäisyyden todellista viidennen juuria # (X + y) # ei ole automaattisesti jäljellä olevan kvartetin tekijä # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # joiden muut lineaariset tekijät ovat kaikki ei-todellisia monimutkaisia.

Voimme jakaa manuaalisesti # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # mennessä # X + y # saat polynomin loppuosan ja sitten korvata # X = 2 ^ 8 # ja # Y = 1 # tarkista, että tämä ei ole erityistapaus …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Joten loput ovat:

# 5y ^ 4 = 5 (väri (sininen) (1)) ^ 4 = 5 #

Koska loppuosa ei ole nolla, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# ja #2^8+1# ei ole yhteistä tekijää suurempi kuin #1#.