Mikä on lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x?

Vastaus:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Selitys:

Maclaurinin laajennus # e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

Siten, # e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……. #

#:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + ……) / x) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + …….) #

# = oo #

Vastaus:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo #

Selitys:

Jos tarkastelemme lukijaa ja nimittäjää, näemme sen # E ^ x-1 # kasvaa paljon nopeammin kuin # X # kun # X # on suuri.

Tämä tarkoittaa, että lukija "ylittää" nimittäjän ja aukko kasvaa ja kasvaa, joten äärettömyydessä nimittäjä on vain merkityksetön, ja jättää meidät:

#lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) e ^ x-1 = oo #