Kukin suorakulmio on 6 cm pitkä ja 3 cm leveä, ja niillä on yhteinen PQ-diagonaali. Miten osoitat, että tanalpha = 3/4?

Vastaus:

saan #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Selitys:

Hauskaa. Voin ajatella muutamia eri tapoja nähdäksesi tämän. Horisontaalista suorakulmioa kutsumme vasemman yläreunan S ja alareunan oikeanpuoleisen R: n. Kutsumme kuvion huippua, toisen suorakulmion kulmaa, T.

Meillä on yhdenmukaiset kulmat QPR ja QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {teksti {vastakkainen}} {teksti {vieressä}} = 3/6 = 1/2 #

Tangenttinen kaksikulmainen kaava antaa meille #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Nyt # Alpha # on RPT: n täydentävä kulma (ne lisäävät # 90 ^ circ #), niin

# tan alpha = pinnasänky RPT = 3/4 #

Vastaus:

Katso alla.

Selitys:

kolmiot # DeltaABP # ja # DeltaCBQ # ovat suorakulmaisia kolmioita, joissa on:

# AP = CQ = 3 # ja

# / _ ABP = / _ CBQ # koska ne ovat pystysuuntaisia kulmia.

Siksi nämä kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä.

Tämä tarkoittaa:

# PB = BQ #

Päästää # AB = x # ja # BQ = y # sitten:

# PB = y #

Tiedämme sen:

# X + y = 6 # cm #COLOR (punainen) (Yhtälö 1) #

Kolmiossa # DeltaABP #:

# Y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #COLOR (punainen) (Yhtälö-2) #

Ratkaistaan # Y # alkaen #COLOR (punainen) (Yhtälö 1) #:

# Y = 6 x #

Liitä se sisään #COLOR (punainen) (Yhtälö-2) #:

# (6 x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# X = 9/4 #

# Tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #