Kysymys # e8ab5

Vastaus:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Selitys:

Ensinnäkin, muistakaa mitä #cos (x + y) # on:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Ota huomioon, että:

# (Sinx + Siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> sin ^ 2 x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

Ja:

# (Cosx + kodikas) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Nyt meillä on nämä kaksi yhtälöä:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# Cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Jos lisäät ne yhteen, meillä on:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Älä anna tämän yhtälön koko heittää sinut pois. Etsi identiteettejä ja yksinkertaistuksia:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Siitä asti kun # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Pythagorien identiteetti) ja # Cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Pythagorean Identity), voimme yksinkertaistaa yhtälöä:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Voimme tehdä a #2# kahdesti:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Ja jaa:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

Ja vähennä:

# Sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Lopuksi #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, meillä on:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

tietty

# Sinx + Siny = a ……. (1) #

# Cosx + kodikas = b ……. (2) #

Squaring ja lisääminen (1) & (2)

# (cosx + kodikas) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Squaring ja vähentäminen (1) alkaen (2)

# (cosx + kodikas) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "From (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Vastaus:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Selitys:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + kodikas = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

jakamalla #(1)# mennessä #(2)#, meillä on, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Nyt, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Nauti matematiikasta.