Mitkä ovat f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 ääriarvot ja satulapisteet?

Vastaus:

# {: ("Kriittinen piste", "Päätelmä"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "satula"), ((-1,2), "satula "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Selitys:

Teoria tunnistaa äärimmäisen # Z = f (x, y) # on:

Ratkaise samanaikaisesti kriittiset yhtälöt

# (osittainen f) / (osittainen x) = (osittainen f) / (osittainen y) = 0 t (ts # Z_x = z_y = 0 #)
Arvioida #f_ (x x), f_ (yy) ja f_ (xy) (= f_ (yx)) # kussakin näistä kriittisistä kohdista. Arvioi siis # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # kussakin näistä kohdista
Määritä äärimmäisen luonne;

# {: (Delta> 0, "Minimi on, jos" f_ (xx) <0), (, "ja maksimi, jos" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "satulapiste")), (Delta = 0, "lisäanalyysi on tarpeen"):} #

Joten meillä on:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Etsi ensimmäiset osittaiset johdannaiset:

# (osittainen f) / (osittainen x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (osittainen f) / (osittainen y) = 2xy + 2y #

Joten kriittiset yhtälöt ovat:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Toisesta yhtälöstä meillä on:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # X = -1 # ensimmäiseen yhtälöön ja saamme:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # Y = 0 # ensimmäiseen yhtälöön ja saamme:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Ja niin meillä on neljä kriittiset kohdat, joissa on koordinaatit;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Katsokaamme nyt toisia osittaisia johdannaisia, jotta voimme määrittää kriittisten pisteiden luonteen:

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2) = 12x + 10 #

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2) = 2x + 2 #

# (osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y) = 2y (= (osittainen ^ 2f) / (osittainen y osittainen x)) #

Ja meidän on laskettava:

# Delta = (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2) (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2) - ((osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y)) 2

kussakin kriittisessä kohdassa. Toiset osittaiset johdannaiset, #Delta#ja päätelmät ovat seuraavat:

# {: ("Kriittinen piste", (osittainen ^ 2f) / (osittainen x ^ 2), (osittainen ^ 2f) / (osittainen y ^ 2), (osittainen ^ 2f) / (osittainen x osittainen y), Delta, "Päätelmä"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "satula"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "satula"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Näemme nämä kriittiset kohdat, jos tarkastelemme 3D-juoni: