Ratkaise akseli ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Vastaus:

Nopea luonnos …

Selitys:

Ottaen huomioon:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # kanssa #a! = 0 #

Tämä sotkuu melko nopeasti, joten annan vain yhden menetelmän luonnoksen …

Kerro # 256a ^ 3 # ja korvaa #t = (4ax + b) # saada muotoon masentunut monic-kvartsi:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Huomaa, että koska sillä ei ole termiä # T ^ 3 #, se on otettava huomioon muodossa:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-at + B) (t ^ 2 + at + C) #

#color (valkoinen) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Yhdistämällä kertoimet ja järjestämällä vähän uudelleen, meillä on:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Joten löydämme:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (valkoinen) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (valkoinen) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Kerrotaan, kertomalla # ^ 2 # ja järjestetään hieman uudelleen,

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Tämä "kuutio" # ^ 2 #"on ainakin yksi todellinen juuri. Ihannetapauksessa sillä on positiivinen todellinen juuri, joka tuottaa kaksi mahdollista todellista arvoa # A #. Riippumatta siitä, että kukin kuutiojuuri tulee.

Koska arvo on # A #, meillä on:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Siksi saamme ratkaistavaksi kaksi quadraticsia.