Miksi sinun on löydettävä kompleksiluvun trigonometrinen muoto?

Riippuen siitä, mitä tarvitset monimutkaisten numeroiden kanssa, trigonometrinen muoto voi olla erittäin hyödyllinen tai erittäin hankala.

Anna esimerkiksi # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # ja # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Laske kaksi trigonometristä muotoa:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # ja # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # ja # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # ja # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Niinpä trigonometriset lomakkeet ovat:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Lisäys

Oletetaan, että haluat laskea # Z_1 + z_2 + z_3 #. Jos käytät algebrallista muotoa, saat

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Aika helppo. Kokeile nyt trigonometrista muotoa …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi))

osoittautuu, että lyhin tapa lisätä nämä kaksi ilmaisua on ratkaista kosinit ja sinialaiset, mikä tarkoittaa … kääntämällä algebralliseen muotoon!

Algebrallinen muoto on usein paras tapa valita monimutkaisia numeroita.

kertolasku

Nyt yritämme laskea # Z_1 * z_2 * z_3 #. Algebrallisten muotojen käyttö vaatii paljon ärsyttäviä laskelmia. Tämän tuotteen ratkaiseminen trigonometrisillä lomakkeilla on yksinkertaisempaa:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Ainesosat osoittavat, että toinen tasa-arvo on peräisin trigonometriasta: kaksi lisäyskaavat

#sin (alfa + beeta) = sin (alfa) cos (beeta) + sin (beeta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beeta) = cos (alfa) cos (beeta) -sin (alfa) sin (beeta) #

Monimutkaisten numeroiden kertominen on jopa puhtaampaa (mutta käsitteellisesti ei ole helpompaa) eksponenttisessa muodossa.

Joissakin mielessä trigonometrinen muoto on eräänlainen in- formaatio algebrallisen ja eksponentiaalisen muodon välillä. Trigonometrinen muoto on tapa siirtyä näiden kahden välillä. Tässä mielessä se on eräänlainen "sanakirja" "kääntää" lomakkeita.