Mitkä ovat yleisiä virheitä, joita opiskelijat tekevät vakiolomakkeilla?

Ellipsin vakiolomake (kuten opetan) näyttää siltä: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) on keskusta.

etäisyys "a" = kuinka pitkälle oikealle / vasemmalle siirtyä keskeltä horisontaalisten päätepisteiden löytämiseksi.

etäisyys "b" = kuinka pitkälle ylös / alas siirtyä keskeltä pystysuorien päätepisteiden löytämiseksi.

Luulen, että usein opiskelijat ajattelevat väärin # ^ 2 # kuinka pitkälle siirryt pois keskeltä kohdepisteiden paikantamiseksi. Joskus tämä olisi hyvin suuri matka matkaan!

Lisäksi uskon, että joskus opiskelijat siirtävät virheellisesti ylös / alas oikean / vasemman sijasta, kun he soveltavat näitä kaavoja ongelmiinsa.

Tässä on esimerkki, josta voit puhua:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Keskus on (1, -4). Sinun pitäisi liikkua oikealle ja vasemmalle "a" = 2 yksikköä saadaksesi vaakasuorat päätepisteet kohdassa (3, -4) ja (-1, -4). (katso kuva)

Sinun pitäisi liikkua ylös ja alas "b" = 3 yksikköä saadaksesi pystysuorat päätepisteet kohdassa (1, -1) ja (1, -7). (katso kuva)

Koska a <b, pääakseli on pystysuunnassa.

Jos a> b, pääakseli menee vaakasuunnassa!

Jos haluat selvittää muita tietoja ellipseistä, kysy toinen kysymys!

(Sekaannusta siitä, onko # A # ja # B # edustavat suuria / pieniä säteitä tai # X #- & # Y #-radii)

Muista, että ellipsin vakiolomake keskitetty alkuperä on

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Joissakin tapauksissa kuitenkin joudutaan käsittelemään edellä mainittua kaavaa. Jotkut koulukunnat pitävät sitä # A # tulisi aina olla suurempi kuin # B # ja siten edustavat suurimman säteen pituutta (vaikka suurin säde sijaitsee pystysuorassa suunnassa, mikä mahdollistaa sen # Y ^ 2 / a ^ 2 # tällaisessa tapauksessa), kun taas toiset pitävät sitä aina edustavana # X #-radius (vaikka # X #-radius on pienin säde).

Sama pätee # B #, vaikka päinvastoin. (toisin sanoen jotkut uskovat sitä # B # pitäisi aina olla pienin säde, ja toiset uskovat, että sen pitäisi aina olla # Y #-säde).

Varmista, että tiedät, mitä menetelmää ohjaajasi (tai käyttämäsi ohjelma) haluaa. Jos vahvaa mieltymystä ei ole, päätät sitten itse, mutta olla sopusoinnussa päätöksen kanssa. Mielensiirron muuttaminen puoliväliin tekee asioista epäselvät ja muuttaa mieltäsi puoliväliin yhden ongelma johtaa vain virheisiin.

(Radius / akselin sekavuus)

Suurin osa virheistä ellipseissä näyttäisi johtuvan tästä sekaannuksesta, jonka säde on suuri ja mikä on vähäinen. Muita mahdollisia virheitä voi ilmetä, jos pääsäde sekoittuu pääakselin kanssa (tai pienempi säde pienemmän akselin kanssa). Suurin (tai vähäinen) akseli on kaksinkertainen suurimman (tai pienen) säteen ollessa olennaisesti suurin (tai pieni) halkaisija. Riippuen vaiheesta, jossa tämä sekaannus tapahtuu, tämä voi johtaa vakaviin virheisiin ellipsin mittakaavassa.

(Säde / säde neliön sekavuus)

Samanlainen virhe ilmenee, kun opiskelijat unohtavat nimittäjät (# a ^ 2, b ^ 2 #) ovat säteiden neliöt eivätkä itse säteet. Ei ole harvinaista nähdä opiskelija, jolla on ongelma # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # piirtää ellipsi # X #-radius 9 ja # Y #-radius 4. Lisäksi tämä voi tapahtua edellä mainitun virheen yhteydessä (sekoittaa halkaisijan säde), mikä johtaa sellaisiin tuloksiin kuin opiskelija, jolla on edellä oleva yhtälö, jossa ellipsi, jolla on suuri halkaisija 9 (ja siten suuri säde 4.5), oikean halkaisijan 6 (ja suurimman säteen 3) sijasta.

(Hyperbolan ja ellipsin sekavuus) VAROITUS: Vastaus on melko pitkä

Toinen suhteellisen yleinen virhe tapahtuu, jos joku väärin muistaa ellipsin kaavan. Tarkemmin sanottuna yleisimpiä näistä virheistä näyttää tapahtuvan, kun sekoittaa ellipsien kaava hyperbolojen kaavaan (joka muistuttaa, että se on # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # tai # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # niille, jotka ovat keskellä alkuperää, sovelletaan jälleen edellä lueteltuja akselimerkintäsopimuksia). Tätä varten se auttaa muistamaan ellipsien ja hyperbolien määritelmän kartiomaisiksi osiksi.

Muistakaa erityisesti, että ellipsi on kahden polttopisteeseen liittyvien pisteiden sijainti # f_1 & f_2 # sijaitsee pääakselin varrella siten, että mielivaltaisen pisteen kohdalla # P # paikasta, etäisyys # P # että # F_1 # (merkitty # D_1 #) plus etäisyys # P # että # F_2 # (merkitty # D_2 #) on kaksi kertaa suurin säde (eli jos # A # on suurin säde, # d_1 + d_2 = 2a #). Lisäksi etäisyys keskuksesta jompaankumpaan näistä polttimista (jota kutsutaan joskus puolipisteisyyden erottaminen tai lineaarinen epäkeskisyys), olettaen # A # on suurin säde, on yhtä suuri #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Sitä vastoin hyperbola on kahden polttopisteeseen liittyvien pisteiden paikka siten, että pisteelle # P # paikan päällä, absoluuttinen arvo ero pisteen etäisyyden ja ensimmäisen tarkennuksen välillä ja pisteen etäisyys toiseen tarkennukseen on kaksinkertainen suurimman säteen (ts. # A # suuri säde, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Lisäksi etäisyys hyperbolan keskipisteestä jompaankumpaan näistä polttimista (jälleen kutsutaan joskus lineaariseksi epäkeskisyydeksi ja oletetaan edelleen # A # suurin säde) on yhtä suuri #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Kartionmuotoisten osien määrittelyyn liittyy kokonaisuus eksentrisyys # E # osassa määritetään, onko kyseessä ympyrä (# E = 0 #), ellipsi (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #) tai hyperbola (#E> 1 #). Ellipsien ja hyperbolien osalta epäkeskisyys voidaan laskea lineaarisen epäkeskisyyden ja suurimman säteen pituuden suhteena; siten, ellipsi, se tulee olemaan #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (ja siten välttämättä alle 1) ja hyperbolalle #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (ja siten välttämättä suurempi kuin 1).