Mikä on (3i + 2j - 6k) projektio (3i - 4j + 4k)?

Vastaus:

Vektoriprojektio on #< -69/41,92/41,-92/41 >#, skalaari-projektio on # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Selitys:

tietty # Veca = (3i + 2j-6K) # ja # vecb = (3i-4j + 4k) #, voimme löytää #proj_ (vecb) veca #, vektori projisointi # Veca # päälle # Vecb # käyttäen seuraavaa kaavaa:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Toisin sanoen kahden vektorin pistetuote jaettuna suuruusluokalla # Vecb #, kerrottuna # Vecb # jaettuna sen suuruudella. Toinen määrä on vektorimäärä, kun jaamme vektorin skalaarilla. Huomaa, että jaamme # Vecb # suuruudeltaan saadakseen a yksikön vektori (vektori, jonka suuruus on #1#). Saatat huomata, että ensimmäinen määrä on skalaari, koska tiedämme, että kun otamme kahden vektorin pistetuotteen, tuloksena on skalaari.

Siksi skalaari projisointi # A # päälle # B # on #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, myös kirjoitettu # | Proj_ (vecb) veca | #.

Voimme aloittaa ottamalla kahden vektorin pistetuotteen, jotka voidaan kirjoittaa # veca = <3,2, -6> # ja # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Sitten voimme löytää suuruuden # Vecb # ottamalla kunkin komponentin neliöiden neliöjuuri.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

Ja nyt meillä on kaikki, mitä tarvitsemme vektoriprojektion löytämiseksi # Veca # päälle # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Voit jakaa kertoimen vektorin jokaiselle komponentille ja kirjoittaa seuraavasti:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

Skalaarinen projektio # Veca # päälle # Vecb # on vain kaavan ensimmäinen puoli, missä #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Siksi skalaari-projektio on # -23 / sqrt (41) #, joka ei yksinkertaista enää, ja lisäksi nimittäjän järkeistäminen haluttaessa # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Toivottavasti se auttaa!