Mikä on aika_ {n = 0} ^ {t}} (cos x) ^ n lähentymisväli?

$Mikä on aika_ {n = 0} ^ {t}} (cos x) ^ n lähentymisväli?$

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Polynomin identiteetin käyttäminen

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

meillä on #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

sitten, sillä #x ne k pi, k ZZ # meillä on

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Näytä, että cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Olen hieman sekava, jos teen Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), se muuttuu negatiiviseksi kuin cos (180 ° -theta) = - costheta in toinen neljännes. Miten voin todistaa kysymyksen?

Katso alla. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Mikä on sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n: n lähentymisväli? Ja mikä on summa x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["on lähentymisväli x" "x = 3 ei ole lähentymisintervallissa, joten summa x = 3 on" oo "Käsittele summaa niin kuin se on geometrinen sarja korvaamalla "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Sitten meillä on" summa_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "for" | z | <1 "Näin lähentymisväli on" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "TAI" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatiivinen)" "Positiivinen tapaus

Mikä on aika_ {n = 0} ^ {oo} (fr {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Voimme saada tämän sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n on geometrinen sarja, jonka suhde r = 1 / (x (1-x)). Nyt tiedämme, että geometrinen sarja konvergoituu, kun suhteen absoluuttinen arvo on pienempi kuin 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Joten meidän on ratkaistava tämä epätasa-arvo: 1 / (x (1-x)) <1 ja 1 / (x (1-x))> -1 Aloitetaan ensimmäisestä: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x) )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Voimme helposti todistaa, että lukija on aina positiivinen j