Miten intx ^ x sinx cosx dx integroidaan?

Vastaus:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Selitys:

Ensin voimme käyttää identiteettiä:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

joka antaa:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) x # x

Nyt voimme käyttää integrointia osittain. Kaava on:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) x # #

Annan sen #f (x) = sin (2x) # ja #G '(x) = e ^ x / 2 #. Kun käytät kaavaa, saamme:

#int e ^ x / 2sin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x xx #

Nyt voimme soveltaa integrointia osittain jälleen kerran, tällä kertaa #f (x) = cos (2x) # ja #G '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x x x) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2 s (2x) e ^ x x x #

Nyt meillä on integraali tasa-arvon molemmilla puolilla, joten voimme ratkaista sen yhtälönä. Ensinnäkin lisäämme kaksi kertaa molempien puolien kiinteä osa:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Koska halusimme puolet alkuperäisen integraalin kertoimesta, jaamme molemmat puolet #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Vastaus:

# int e ^ x xxxx x = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Selitys:

Me etsimme:

# I = int x ^ xxxx x #

Mikä käyttää identiteettiä:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Voimme kirjoittaa seuraavasti:

# I = 1/2 int e ^ x s2x x #

# I = 1/2

Missä mukavuutta tarkoitetaan:

# I_S = int t, ja # I_C = int e ^ x cos2x x #

Nyt suoritamme integroinnin osittain uudelleen.

Päästää # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Sitten yhdistetään IBP-kaavaan:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) x #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x x # x

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Nyt meillä on kaksi samanaikaista yhtälöä kahdessa tuntemattomassa # I_S #. ja # I_C #, joten korvaa B osaksi A meillä on:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Johtavat:

# I = 1/2 t

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #