Miten int x + cosx integroidaan osoitteesta [pi / 3, pi / 2]?

Vastaus:

Vastaus #int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 0,8193637907356557 #

Selitys:

näytä alla

#int _ (pi / 3) ^ (pi / 2) x + cosx * dx = 1 / 2x ^ 2 + sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) #

# Pi ^ 2/8 + sin (pi / 2) - pi ^ 2/18 + sin (pi / 3) = (5 * pi ^ 2-4 * 3 ^ (5/2) +72) /72=0.8193637907356557#

Vastaus:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Selitys:

Integraalin lineaarisuuden käyttö:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx + int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx #

Nyt:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) xdx = x ^ 2/2 _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = pi ^ 2/8-pi ^ 2/18 = (5pi ^ 2) / 72 #

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) cosxdx = sinx _ (pi / 3) ^ (pi / 2) = sin (pi / 2) -sin (pi / 3) = 1-sqrt3 / 2 #

Sitten:

#int_ (pi / 3) ^ (pi / 2) (x + cosx) dx = 1 + (5pi ^ 2-36sqrt3) / 72 #

Vastaus:

# (5π ^ 2) / 72 + 1-sqrt3 / 2 #

Selitys:

#int_ (π / 3) ^ (π / 2) (x + cosx) dx # #=#

#int_ (π / 3) ^ (π / 2) xdx + int_ (π / 3) ^ (π / 2) cosxdx # #=#

# X ^ 2/2 _ (π / 3) ^ (π / 2) # #+# # Sinx _ (pi / 3) ^ (π / 2) # #=#

# (Π ^ 2/4) / 2- (π ^ 2/9) / 2 + sin (π / 2) sin (π / 3) # #=#

# Π ^ 2/8-π ^ 2/18 + 1-sqrt3 / 2 # #=#

# (5π ^ 2) / 72 + 1-sqrt3 / 2 #

Miten voisin todistaa tämän olevan identiteetti? Kiitos. (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (3-cosx)

LHS = (1-sin ^ 2 (x / 2)) / (1 + sin ^ 2 (x / 2) = (cos ^ 2 (x / 2)) / (1 + 1-cos ^ 2 (x / 2) )) = (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2 - 2 ^ 2 (x / 2)) = (1 + cosx) / (4- (1 + cosx)) = (1 + cosx) / ( 3-cosx) = RHS

Miten intx ^ x sinx cosx dx integroidaan?

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Ensin voimme käyttää identiteettiä: 2sinthetacostheta = sin2x, joka antaa: int ^ xsinxcosx x = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Nyt voimme käyttää integrointia osittain. Kaava on: intf (x) g '(x) x = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) xx annan f (x) = sin ( 2x) ja g '(x) = e ^ x / 2. Kaavaa käytettäessä saamme: int e ^ x / 2sin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Nyt voimme soveltaa osien integrointia jälleen kerran , tällä kertaa f (x) = cos (2x) ja g '(x) = e ^ x: int ^ x / 2

Todista se: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Alla on todiste Pythagorean teorian konjugaattien ja trigonometrisen version avulla. Osa 1 sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) väri (valkoinen) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) väri (valkoinen) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) väri (valkoinen) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Osa 2 Vastaavasti sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) väri (valkoinen) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) Osa 3: Termien sqrt ( (1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) väri (valkoinen) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-co