Mikä on f (x) = csc ^ -1 (x) johdannainen?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Käsitellä asiaa:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Ensin kirjoitamme yhtälön uudelleen muodossa, joka on helpompi työskennellä.

Ota kummankinpuoleinen kumppani:

2.) #csc y = x #

Kirjoita uudelleen sinialaiseksi:

3.) # 1 / siny = x #

Ratkaise # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Nyt johdannaisen ottaminen olisi helpompaa. Se on nyt vain ketjun sääntö.

Tiedämme sen # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (on olemassa todiste tästä henkilöllisyydestä täällä)

Joten ota ulkopuolisen toiminnon johdannainen, sitten kerrotaan # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Johdannainen # 1 / x # on sama kuin #X ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Yksinkertaistaminen 8. antaa meille:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Jotta lausunto olisi hieman kauniimpi, voimme tuoda sen # X ^ 2 # radikaalin sisällä, vaikka tämä ei ole välttämätöntä:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Tuottojen yksinkertaistaminen:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Ja meidän vastauksemme on. Muista, että johdannaisongelmat, joihin liittyy käänteisiä trig-funktioita, ovat enimmäkseen harjoituksia, jotka koskevat tietämystäsi trig-identiteeteistä. Käytä niitä hajottamaan toiminto muotoon, joka on helppo erottaa toisistaan.