Miten käytät raja-vertailutestiä summalle 1 / (n + sqrt (n)) n = 1 - n = oo?

Vastaus:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # eroaa, tämä voidaan nähdä vertaamalla sitä #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Selitys:

Koska tämä sarja on positiivisten lukujen summa, meidän on löydettävä joko lähentyvä sarja #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # niin että #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # ja päädymme siihen, että meidän sarjamme on lähentyvä, tai meidän on löydettävä sellainen erilainen sarja #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # ja päätellä, että sarjamme ovat myös erilaisia.

Huomaamme seuraavaa:

varten

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Siksi

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Niin

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Koska se on hyvin tiedossa #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # eroaa #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # eroaa myös, koska jos se lähentyy # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # samoin, ja näin ei ole.

Nyt käytämme vertailutestiä #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # poikkeaa.

Rajavertailutesti kestää kaksi sarjaa, # Suma_n # ja # Sumb_n # missä #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Jos #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # missä #L> 0 # ja on rajallinen, niin joko molemmat sarjat lähentyvät tai molemmat sarjat eroavat toisistaan.

Meidän pitäisi antaa # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, sekvenssi annetusta sarjasta. Hyvä # B_n # valinta on ylivoimainen toiminto # A_n # lähestyy # N # tulee suureksi. Joten anna # B_n = 1 / n #.

Ota huomioon, että # Sumb_n # eroaa (se on harmoninen sarja).

Niin, näemme sen #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Jatka jakamalla # N / n #, tämä tulee #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Koska raja on #1#, mikä on #>0# ja määritellään, näemme sen # Suma_n # ja # Sumb_n # molemmat eroavat tai lähentyvät. Koska tiedämme jo # Sumb_n # eroaa, voimme päätellä, että # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # eroaa myös.