Kolmiossa on pisteet A (a, b), C (c, d) ja O (0, 0). Mikä on kolmion piirretyn ympyrän yhtälö ja alue?

Vastaus:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # missä

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Selitys:

Yleistin kysymyksen; Katsotaanpa, miten se tapahtuu. Jätin yhden kärjen alkuperästä, mikä tekee siitä hieman vähemmän sotkuisen, ja mielivaltainen kolmio on helposti käännettävissä.

Kolmio on tietenkin täysin tarpeeton tämän ongelman kannalta. Pienennetty ympyrä on ympyrä kolmen pisteen läpi, jotka ovat kolme pisteitä. Kolmio tekee ratkaisusta yllätyksen.

Joitakin termejä: rajattua ympyrää kutsutaan kolmioiksi circumcircle ja sen keskellä kolmio circumcenter.

Yleinen yhtälö ympyrän keskelle # (P, q) # ja neliösäde # S # on

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

ja ympyrän alue on #A = pi s.

Meillä on kolme tuntematonta # P, q, s # ja tiedämme kolme pistettä, joten saamme kolme yhtälöä:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # koska alkuperä on ympyrällä.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Ratkaistaan samanaikaiset yhtälöt. Muutetaan ne kahteen lineaariseen yhtälöön laajentamalla ja vähentämällä paria, mikä merkitsee menettämistä # P ^ 2 + q ^ 2 # vasemmalla ja # S # oikealla.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

vähentämällä, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Samalla lailla, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Se on kaksi yhtälöä kahdessa tuntemattomassa. # AX = K # on ratkaisu # X = A ^ {- 1} K. # Muistan kaksi matriisin käänteistä, joita en tiedä, miten muotoillaan

#A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Meille tämä tarkoittaa

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

ja neliön säde

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

joten alue on # Pi # kertaa.

Näemme, että ilmaisu muuttuu symmetriseksi, jos harkitsemme mitä tapahtuu mielivaltaisen kolmion kohdalla #(A B C D E F).# Asetamme # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # mutta en toimi nyt.

Huomaan # S # on kolmion sivujen kolmen neliön pituuden ja nimittäjän tuote # S # on kuusitoista kertaa kolmion neliön pinta-ala.

Rational Trigonometryssä kutsutaan neliöpituuksia quadrances ja kuusitoista kertaa neliöaluetta kutsutaan quadrea. Löysimme ympärysmitan säteen neliön, joka on kolmion osien jaon ja sen neliötuotteen tulos.

Jos tarvitsemme vain ympärysmitan säteen tai alueen, voimme tiivistää tuloksen seuraavasti:

Ympyrän ympyrän neliösäde on kolmion neliömäisten pituuksien tulos, joka on jaettu kuusitoista kertaa kolmion neliömäisellä alueella.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #