Mikä on funktion f (x) = ln x lopullinen käyttäytyminen?

#f (x) = ln (x) -> kuten #X -> infty # (#ln (x) # kasvaa sitoutumatta # X # kasvaa ilman sidottua) ja #F (x) = ln (x) -> - infty # kuten #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # kasvaa ilman sidottua negatiiviseen suuntaan # X # lähestyy nollaa oikealta).

Ensimmäisen tosiasian todistamiseksi on olennaisesti osoitettava, että kasvava toiminto #F (x) = ln (x) # ei ole horisontaalista asymptoottia #X -> infty #.

Päästää #M> 0 # olla mikä tahansa positiivinen luku (ei väliä kuinka suuri). Jos #x> e ^ {M} #sitten #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (siitä asti kun #f (x) = ln (x) # on kasvava toiminto). Tämä osoittaa, että mikä tahansa vaakasuora viiva # Y = M # ei voi olla horisontaalinen asymptoosi #F (x) = ln (x) # kuten #X -> infty #. Se, että #F (x) = ln (x) # on kasvava toiminto, joka nyt merkitsee sitä #F (x) = ln (x) -> infty # kuten # X-> infty #.

Todistaaksesi toinen seikka, anna #M> 0 # olla mikä tahansa positiivinen luku niin, että # -M <0 # on mikä tahansa negatiivinen luku (riippumatta siitä, kuinka kaukana nolla). Jos # 0 <x <e ^ {- M} #sitten #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (siitä asti kun #f (x) = ln (x) # kasvaa). Tämä osoittaa sen #F (x) = ln (x) # jos se on vaakasuoran viivan alapuolella, jos # 0 <x # on riittävän lähellä nollaa. Se tarkoittaa #F (x) = ln (x) -> - infty # kuten #x -> 0 ^ {+} #.