Todista sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Vastaus:

Selityksessä

Selitys:

Normaalissa koordinaattitasossa meillä on koordinaatti kuten (1,2) ja (3,4) ja niin. Voimme paljastaa nämä koordinaatit n säteen ja kulman suhteen. Joten jos meillä on kohta (a, b), se tarkoittaa, että siirrymme yksiköitä oikealle, b yksikköä ylös ja #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # alkuperän ja pisteen (a, b) välinen etäisyys. soitan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Joten meillä on # Re ^ arctan (b / a) #

Nyt voit lopettaa tämän todistuksen pois muistuttamalla kaavaa.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Kaaren rusketus antaa minulle kulman, joka on myös teeta.

Joten meillä on seuraava yhtälö:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + syn (arctan (b / a)) #

Nyt voit piirtää oikean kolmion.

(B / a): n arctan kertoo minulle, että b on vastakkainen ja a on viereinen puoli. Joten jos haluan Arctanin (b / a) cos, käytämme Pythagorean teoriaa hypotenuksen löytämiseksi. Hypotenuse on #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Joten cos (arctan (b / a)) = vieressä hypotenuse = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Parasta on, että tämä sama periaate koskee sinia. Niin synti (arctan (b / a)) = vastapäätä hypotenuse = = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Joten nyt voimme ilmaista vastauksemme seuraavasti: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Mutta muista #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # nyt meillä on: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R: n peruuntuminen, ja sinulle jää seuraavat: # A + bi #

Siksi, # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #