Milloin käytät Heronin kaavaa löytää alue?

Voit käyttää sitä aina, kun tiedät kolmion kaikkien kolmen sivun pituudet.

Toivon, että tämä oli hyödyllistä.

Vastaus:

Heronin kaava on melkein aina väärä kaava käytettäväksi; kokeile Archimedesin teoriaa kolmion kanssa # A # ja sivut # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # missä # S = 1/2 (a + b + c) #

Tämä viimeinen on ohuesti peitetty Heroni.

Selitys:

Aleksandrian sankari kirjoitti ensimmäisellä vuosisadalla. Miksi jatkamme kidutusta opiskelijoiden kanssa, kun nykyaikaisia vastaavia on paljon mukavampia, mitä minulla ei ole aavistustakaan.

Heronin kaava alueelle # A # kolmio, jossa on sivut # A, b, c # on

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # missä # S = 1/2 (a + b + c) # on semiperimetri.

Ei ole epäilystäkään, että tämä kaava on mahtava. Mutta se on hankalaa käyttää murto-osan takia ja, jos aloitamme koordinaateista, neljä neliöjuurta.

Tee vain matematiikka. Neliömme ja poistamme # S # joka pääasiassa palvelee a #16# ja tärkeä tekijä. Voit kokeilla sitä ensin.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Se on jo paljon parempi kuin Heronin muoto. Tallennamme murto-osan loppuun ja ei ole enää miettimättä semiperimetrin merkitystä.

Degeneroitu tapaus kertoo. Kun yksi niistä tekijöistä, joilla on miinusmerkki, on nolla, silloin kaksi puolta täyttää täsmälleen toisen puolen. Nämä ovat etäisyydet kolmen kollinaarisen pisteen välillä, rappeutunut kolmio, ja saamme nolla-alueen. Käydä järkeen.

# A + B + C # tekijä on mielenkiintoinen. Se, mitä se kertoo meille, on, että tämä kaava toimii edelleen, jos käytämme siirtymiä, allekirjoitettuja pituuksia, eikä kaikkia positiivisia.

Kaava on edelleen hankala käyttää tiettyjä koordinaatteja. Kerro se ulos; haluat ehkä kokeilla sitä itse;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Tämä muoto riippuu vain pituuksien neliöistä. Se on selvästi täysin symmetrinen. Voimme nyt mennä Heronin ulkopuolelle ja sanoa, jos neliön pituudet ovat järkeviä, niin on myös neliöalue.

Mutta voimme tehdä paremmin, jos huomaamme

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

vähentämällä,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Se on kaunein muoto.

On epäsymmetrinen näköinen muoto, joka on yleensä hyödyllisin. Me panemme merkille

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Tämän lisääminen

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Se on kaikkein hyödyllisin muoto. On todella kolme tapaa kirjoittaa se, vaihtaa puolia.

Näitä kutsutaan yhdessä Archimedes Theoremiksi NJ Wildbergerin Rational Trigonometrystä.

Kun annetaan 2D-koordinaatteja, usein kengännauha on kaikkein nopein polku alueelle, mutta tallennan sen muille viroille.