Ratkaise 10 x x 13 cm x / 2 = 5?

Vastaus:

Ratkaisu: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #

Selitys:

# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # tai

# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # tai

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # tai

# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # tai

# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. Jompikumpi

# (4 cos (x / 2) +5) = 0 tai (5 cos (x / 2) -3) = 0 #

# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # tai

# cos (x / 2)! = 5/4 # koska valikoima #cos x # on #-1,1#

# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # tai

#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #

Myös #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~~ 106.26 ^ 0 #

ja # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #

Ratkaisu: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans

Vastaus:

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # kokonaisluku # K #

Selitys:

Aloitetaan korvaamalla # y = x / 2 # päästä eroon murto-osista.

# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #

Kosinisen kaksikulmaisen kaavan suosittu muoto on

#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #

korvaamalla, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #

# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #

Se on tuskallinen tekijä, mutta pieni haku tulee esiin

# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #

#cos y = 3/5 tai cos y = -5 / 4 #

Voimme sivuuttaa alueen ulkopuolisen kosinin.

#cos y = 3/5 #

Voimme käyttää kaksinkertaisen kulman kaavaa:

#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #

# x = arccos (-7/25) #

Se on Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# joten voimme yrittää kirjoittaa sen # arctan (pm 24/7) # mutta se on enemmän vieraita juuria.

# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # kokonaisluku # K #

Tarkistaa:

Tarkistamme parin laskimella.

# x = teksti {Arc} teksti {cos} (- 7/25) n. 106.260205 ^ circ #

# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 kertaa 10 ^ {- 8} quad sqrt #

Lisäämme 360 ja tarkista uudelleen:

# 10 cos (360 + 106,260205) + 13 cos ((360 + 106,260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # EIVÄT toimi.

Puolen kulman takia oikea vastaus näyttää olevan

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # kokonaisluku # K #