Miten jaat (-i-5) / (i -6) trigonometriseen muotoon?

# (- i-5) / (i-6) #

Haluan järjestää tämän uudelleen

# (- i-5) / (i-6) = (- 5-i) / (- 6 + i) = (- (5 + i)) / (- 6 + i) = (5 + i) / (6-i) #

Ensinnäkin meidän on muutettava nämä kaksi numeroa trigonometrisiin muotoihin.

Jos # (A + ib) # on monimutkainen numero, # U # on sen suuruus ja # Alpha # on sen kulma sitten # (A + ib) # trigonometrisessä muodossa kirjoitetaan #U (cosalpha + isinalpha) #.

Monimutkaisen numeron suuruus # (A + ib) # on antanut#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ja sen kulma on # Tan ^ -1 (b / a) #

Päästää # R # olla suuruusluokkaa # (5 + i) # ja # Theta # olla sen kulma.

Suuruusluokka # (5 + i) = sqrt (5 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (25 + 1) = sqrt26 = r #

Kulma # (5 + i) = Tan ^ -1 (1/5) = theta #

#implies (5 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Päästää # S # olla suuruusluokkaa # (6-i) # ja # Phi # olla sen kulma.

Suuruusluokka # (6-i) = sqrt (6 ^ 2 + (- 1) ^ 2) = sqrt (36 + 1) = sqrt37 = s #

Kulma # (6-i) = Tan ^ -1 ((- 1) / 6) = Phi #

#implies (6-i) = s (Cosphi + isinphi) #

Nyt,

# (5 + i) / (6-i) #

# = (R (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = R / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = R / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = R / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = R / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

Täällä meillä on kaikki asia, mutta jos tässä korvaa suoraan arvot, sana olisi tylsä löytää #theta -phi # niin selvitetään ensin # Theta-phi #.

# Theta-phi = tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) #

Tiedämme sen:

# Tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((ab) / (1 + ab)) #

#muuttaa tan ^ -1 (1/5) -tan ^ -1 ((- 1) / 6) = tan ^ -1 (((1/5) - (- 1/6)) / (1+ (1 / 5) ((- 1) / 6))) #

# = Tan ^ -1 ((6 + 5) / (30-1)) = tan ^ -1 (11/29) #

#viittaa teeta -fi = tan ^ -1 (11/29) #

# R / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = Sqrt26 / sqrt37 (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))) #

# = Sqrt (26/37) (cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))) #

Tämä on lopullinen vastaus.

Voit tehdä sen myös muulla menetelmällä.

Jakamalla ensin kompleksiluvut ja muuttamalla ne sitten trigonometriseen muotoon, joka on paljon helpompaa kuin tämä.

Ensinnäkin yksinkertaistetaan annettua numeroa

# (5 + i) / (6-i) #.

Kerro ja jaa nimittäjässä olevan kompleksiluvun konjugaatilla, so # 6 + i #.

# (5 + i) / (6 i) = ((5 + i) (6 + i)) / ((6i) (6 + i)) = (30 + 5i + 6i + i ^ 2) / (6 ^ 2-i ^ 2) #

# = (30 + 11 i-1) / (36 - (- 1)) = (29 + 11 i) / (36 + 1) = (29 + 11 i) / 37 = 29/37 + (11 i) / 37 #

# (5 + i) / (6-i) = 29/37 + (11 i) / 37 #

Päästää # T # olla suuruusluokkaa # (29/37 + (11 i) / 37) # ja #beeta# olla sen kulma.

Suuruusluokka # (29/37 + (11 i) / 37) = sqrt ((29/37) ^ 2 + (11/37) ^ 2) = sqrt (841/1369 + 121/1369) = sqrt (962/1369) = sqrt (26/37) = t #

Kulma # (29/37 + (11 i) / 37) = Tan ^ -1 ((11/37) / (29/37)) = tan ^ -1 (11/29) = beeta #

# viittaa (29/37 + (11i) / 37) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (29/37 + (11i) / 37) = sqrt (26/37) (Cos (tan ^ -1 (11/29)) + isin (tan ^ -1 (11/29))) #.