Kysymys # 90cf3 + Esimerkki

Vastaus:

Voit löytää yhtälöiden juuret # e ^ x = x ^ 3 #Suosittelen, että käytät rekursiivista numeerista analyysimenetelmää, jota kutsutaan Newtonin menetelmäksi

Selitys:

Tee esimerkki.

Voit käyttää Newtonin menetelmää kirjoittamalla yhtälön muodossa #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Laskea #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Koska menetelmä edellyttää, että teemme saman laskennan monta kertaa, kunnes se konvergoituu, suosittelen, että käytät Excel-laskentataulukkoa; lopun vastaukseni sisältää ohjeet siitä, miten tämä tehdään.

Syötä hyvä arvaus x: lle soluun A1. Tätä yhtälöä varten syötän 2.

Syötä soluun A2 seuraava:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Huomaa, että yllä on Excel-laskentataulukko

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopioi solun A2 sisältö A3 - A10. Vain kolmen tai neljän kierroksen jälkeen voit nähdä, että menetelmä on lähentynyt

#x = 1.857184 #

Vastaus:

Voimme käyttää väliarvon teoriaa nähdäksesi, että jokaisella parilla on vähintään yksi leikkauspiste.

Selitys:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # on jatkuvaa koko todellisella rivillä.

at # X = 0 #, meillä on #f (0) = 1 #.

at # X = -1 #, meillä on #f (-1) = 1 / e-1 # joka on negatiivinen.

# F # on jatkuva #-1,0#, joten on ainakin yksi # C # sisään #(-1,0)# kanssa #f (c) = 0 #.

#G (x) = e ^ x-x ^ 3 # on jatkuvaa koko todellisella rivillä.

at # X = 0 #, meillä on #G (0) = 1 #.

at # X = 2 #, meillä on #g (2) = e ^ 2-8 # joka on negatiivinen.

(Ota huomioon, että # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # on jatkuva #0,2#, joten on ainakin yksi # C # sisään #(0,2)# kanssa #G (c) = 0 #.