Kysymys # 53a2b + Esimerkki

Vastaus:

Tämä etäisyyden määritelmä on muuttumaton inertia-kehyksen muutoksen alaisena ja siksi sillä on fyysinen merkitys.

Selitys:

Minkowskin tila on rakennettu 4-ulotteiseksi tilaksi, jossa on parametrien koordinaatit # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, missä me yleensä sanomme # X_0 = ct #. Erityisen relatiivisuuden ytimessä meillä on Lorentzin muunnokset, jotka ovat muutoksia yhdestä inertia-kehyksestä toiseen, joka jättää valon nopeuden invariantiksi. En mene Lorentzin muunnosten täydelliseen johtamiseen, jos haluat minun selittää, kysykää ja menen yksityiskohtaisemmin.

Tärkeää on seuraava. Kun tarkastelemme euklidista tilaa (tilaa, jossa meillä on tavallinen pituuden määritelmä, jota olemme tottuneet) # Ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), meillä on tiettyjä muutoksia; alueelliset kierrosta, käännöksiä ja peilikuvia. Jos laskemme kahden pisteen välisen etäisyyden erilaisissa viitekehyksissä, jotka liittyvät näihin muunnoksiin, löydämme etäisyyden samaksi. Tämä tarkoittaa, että euklidinen etäisyys on näiden muutosten aikana invariantti.

Nyt laajennamme tämän käsitteen 4-ulotteiseen avaruuteen. Ennen Einsteinsin erityissuhteellisuusteorian kytkemistä teimme inertia-kehykset Galilei-muunnoksilla, jotka juuri korvasivat tilakohtaisen koordinaatin # X_i # mennessä # X_i-v_it # varten #iin {1,2,3} # missä # V_i # on tarkkailijan nopeus # I # suunta suhteessa alkuperäiseen kehykseen. Tämä muutos ei jätä valon nopeutta invariantiksi, mutta se jätti linjaelementin aiheuttaman etäisyyden # Ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #yksinkertaisesti siksi, että ajan koordinaattia ei muuteta, joten aika on absoluuttinen.

Galilei-muunnos ei kuitenkaan kuvaa tarkasti yhden inertia-kehyksen muuntumista toiseen, koska tiedämme, että valon nopeus on invariantti oikean koordinaattimuunnoksen alaisena. Siksi olemme esittäneet Lorentzin muutoksen. Euklidinen etäisyys, joka ulottuu 4-dim-avaruuteen, kuten edellä on tehty, ei ole invariantti tämän Lorentz-muunnoksen aikana, mutta etäisyys, jonka aiheuttaa # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # on, jota kutsumme oikeaan etäisyyteen. Joten vaikka tämä euklidinen etäisyys, jossa Pythagoras-teoria on, on täysin kunnon matemaattinen rakenne 4 hämärässä avaruudessa, sillä ei ole mitään fyysistä merkitystä, koska se on riippuvainen tarkkailijasta.

Oikea etäisyys ei ole riippuvainen tarkkailijasta, joten voimme antaa sille fyysisen merkityksen. Tämä tapahtuu liittämällä maailmanlinjan kaarevuus Minkowskin avaruuden läpi käyttämällä tätä etäisyyttä kulkeaikaan, jota tarkkailee tämän maailmanlinjan kulkeva esine. Huomaa, että jos jätämme ajan kiinteäksi, Pythagoras-lause pysyy silti paikkatietokoordinaateissa.

MUOKKAA / LISÄTIETOJA:

Tämän kysymyksen alkuperäinen kehittäjä pyysi minua laatimaan hieman enemmän, hän kirjoitti: "Kiitos. Mutta voisitteko selittää kaksi viimeistä kohtaa hieman enemmän. # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Selittäkää: "Pohjimmiltaan tässä on kaksiulotteinen versio siitä, mitä edellä kuvailin. Meillä on kuvaus avaruusajasta yhdellä kertaa ja yksi avaruusulottuvuus. Tässä määritellään etäisyys tai tarkemmin normi (etäisyys kohteesta lähtökohta pisteeseen) # S # käyttäen kaavaa # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # missä # X # on avaruuskoordinaatti ja # T # ajallinen koordinaatti.

Mitä edellä tein, oli tämän kolmiulotteinen versio, mutta vielä tärkeämpää # (DS) ^ 2 # sijasta # S ^ 2 # (Olen lisännyt sulkeja selvittääkseni, mikä on neliö). Ilman erilaista geometriaa koskevia yksityiskohtia liian paljon, jos meillä on linja, joka yhdistää kaksi pistettä avaruudessa, # Ds # on linjan pienen palan pituus, ns. linjaelementti. Edellä esitetyn 2D-version kautta meillä on # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, joka yhdistää tämän pienen palan pituuden pieniin koordinaattien muutoksiin. Voit laskea etäisyyden alkupisteestä pisteeseen # X_0 = a, x_1 = b # avaruusaikana laskemme suoran linjan pituuden, joka kulkee alkupisteestä tähän pisteeseen, tämä linja annetaan # X_0 = a / bx_1 # missä # X_1in 0, b #, huomaamme sen # Dx_0 = a / bdx_1 #, niin # Ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, niin # Ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, jota voimme integroida, antaa # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Siksi # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # sisään # (T, x): # koordinaatit.

Niinpä, mitä edellä kirjoitin, kerrotaan, mitä olet lukenut kirjasta. Rivielementtiversiolla voit kuitenkin laskea minkä tahansa linjan pituuden, ei vain suoria viivoja. Tarina Lorentzin muutoksesta on edelleen, tämä normi # S # on invariantti viitekehyksen muutoksen aikana # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # ei ole.

Se, että Pythagoras-lause ei pidä, ei ole niin yllättävä. Pythagoras-lause on euklidisessa geometriassa. Tämä tarkoittaa sitä, että tila, jossa työskentelet, on tasainen. Esimerkki tilasta, joka ei ole tasainen, on pallon pinta. Kun haluat löytää etäisyyden kahden pinnan välillä tällä pinnalla, otat lyhimmän reitin pituuden tällä pinnalla, joka yhdistää nämä kaksi pistettä. Jos olisit rakentamassa oikean kolmion tällä pinnalla, joka näyttää hyvin erilaiselta kuin euklidisen tilan kolmio, koska linjat eivät olisi suoria, Pythagoras-lause ei ole yleisesti.

Toinen tärkeä euklidisen geometrian piirre on, että kun asetat koordinaattijärjestelmän tähän tilaan, jokainen koordinaatti suorittaa saman tehtävän. Voit kääntää akseleita ja päätyä samaan geometriaan. Minkowski-geometrian yläpuolella kaikilla koordinaateilla ei ole samaa roolia, koska aikakohdissa on miinusmerkki yhtälöissä ja muut eivät ole. Jos tämä miinusmerkki ei olisi, ajallisella ja avaruudella olisi samanlainen rooli avaruusaikana tai ainakin geometriassa. Mutta tiedämme, että tila ja aika eivät ole samat.