Miten voin ratkaista tämän differentiaaliyhtälön?

Vastaus:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Selitys:

Tämä on erotettavissa oleva differentiaaliyhtälö, mikä tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että on mahdollista ryhmittää # X # termit ja # Y # ilmaisuja yhtälön vastakkaisilla puolilla. Näin me teemme ensin:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Nyt haluamme saada dy puolella y: n kanssa ja dx x: n puolella. Meidän on tehtävä vähän uudelleen järjestäminen:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Nyt integroimme molemmat osapuolet:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Tehdään jokainen integraali puolestaan:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Ensinnäkin, jaetaan tämä 2 erilliseen integraaliin lisäys- / vähennyssäännön mukaan:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Nämä näyttävät olevan ärsyttäviä. Voimme kuitenkin antaa heille hieman makeoveria, jotta ne näyttävät mukavammilta (ja helpommin ratkaistavissa):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Molemmat ovat nyt yksinkertaisia # U #-substituutiot. Jos asetat #u = -x # ja # -3x # saat vastauksen seuraavasti:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Jos teemme negatiivisen eksponentin positiiviseksi, saamme:

# int (te ^ y) dy #

Tätä varten meidän on käytettävä osia. Kaava on:

# int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Aiomme asettaa #u = y #, ja #dv = e ^ y dy #. Syynä on se, että haluamme helpon # Du # että lopullinen yhdentyminen, ja myös siksi, että # E ^ y # on helppo integroida.

Niin:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Nyt kytkemme ja chug:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Kaikkien palauttaminen:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Negatiivisten eksponenttien poistaminen:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Ja se on melko kunnollinen lopullinen vastaus. Jos haluat ratkaista # Y #, voisit, ja sinä päätyisit

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Huomaa, että meillä ei ole a # + C # tämän yhtälön LHS: ssä. Syynä tähän on se, että vaikka olisimme tehneet sen, me lopulta vähennämme sen RHS: stä, ja mielivaltainen vakio miinus mielivaltainen vakio on edelleen (odota) mielivaltainen vakio. Siksi näiden ongelmien osalta niin kauan kuin sinulla on # + C # yhtälön toisella puolella, olet kunnossa.

Toivottavasti se auttoi:)