Miten ratkaista erottuva differentiaaliyhtälö ja löytää tietty ratkaisu, joka täyttää alkuperäisen ehdon y ( 4) = 3?

Vastaus:

Yleinen ratkaisu: #color (punainen) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Erityinen ratkaisu: #COLOR (sininen) ((4v + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Selitys:

Annetusta differentiaaliyhtälöstä #y '(x) = sqrt (4v (x) +13) #

huomaa, että #y '(x) = dy / dx # ja #y (x) = y #, siksi

# Dy / dx = sqrt (4v + 13) #

jakaa molemmat puolet #sqrt (4v + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4v + 13)) = sqrt (4v + 13) / sqrt (4v + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4v + 13)) = 1 #

Kerro molemmat puolet # Dx #

# Dx * dy / dx (1 / sqrt (4v + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / peruuta (dx) (1 / sqrt (4v + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4v + 13) = dx #

transponoida # Dx # vasemmalle puolelle

# Dy / sqrt (4v + 13) -dx = 0 #

integroimalla molemmille puolille meillä on seuraavat tulokset

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4v + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4v + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4v + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (punainen) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Yleinen ratkaisu

Mutta #y (-4) = 3 # tarkoittaa, milloin # X = -4 #, # Y = 3 #

Nyt voimme ratkaista # C_1 # ratkaista kyseistä ratkaisua

# (4v + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Siksi meidän erityinen ratkaisumme on

#COLOR (sininen) ((4v + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Jumala siunatkoon …. Toivon, että selitys on hyödyllinen.

Vastaus:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, kanssa #y> = - 13/4 #.

Selitys:

#y> = - 13/4 #, tehdä #sqrt (4v + 13) # todellinen..

järjestämässä, #x "(y) = 1 / sqrt (4v + 13) #

Niin, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

käyttämällä #y = 3, kun x = -4, C = -`13 / 2 #

Niin. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Käänteisesti. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #