Kaksi numeroa eroavat toisistaan 3. Heidän vastavuoroistensa summa on seitsemän kymmenesosaa. Miten löydät numerot?

Vastaus:

On kaksi ratkaisua ongelmaan:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Selitys:

Tämä on tyypillinen ongelma, joka voidaan ratkaista käyttämällä kahta yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta muuttujaa.

Olkoon ensimmäinen tuntematon muuttuja # X # ja toinen # Y #.

Niiden välinen ero on #3#, joka johtaa yhtälöön:

(1) # X-Y = 3 #

Heidän vastavuoroisesti ovat # 1 / x # ja # 1 / y #, jonka summa on #7/10#, joka johtaa yhtälöön:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Muuten vastavuoroisuuden olemassaolo edellyttää rajoituksia:

# ×! = 0 # ja #y! = 0 #.

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi on käytettävä korvausmenetelmää.

Ensimmäisestä yhtälöstä voimme ilmaista # X # kannalta # Y # ja korvaa toiseen yhtälöön.

Yhtälöstä (1) voimme johtaa:

(3) #x = y + 3 #

Korvaa se yhtälöksi (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Muuten tämä edellyttää toista rajoitusta:

# Y + 3! = 0 #, tuo on #y! = - 3 #.

Yhteisen nimittäjän käyttäminen # 10v (y + 3) # ja kun otetaan huomioon vain lukijat, muutamme yhtälön (4) muotoon:

# 10v + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Tämä on neliöllinen yhtälö, joka voidaan kirjoittaa seuraavasti:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # tai

# 7Y ^ 2 + y-30 = 0 #

Kaksi ratkaisua tähän yhtälöön ovat:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

tai

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Joten meillä on kaksi ratkaisua # Y #:

# Y_1 = 2 # ja # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Vastaavasti käytetään # X = y + 3 #, päätämme, että järjestelmään on kaksi ratkaisua:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Kummassakin tapauksessa # X # on suurempi kuin # Y # mennessä #3#, joten ongelman ensimmäinen edellytys täyttyy.

Tarkistetaan toinen ehto:

(a) ratkaisu # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - tarkistaa

b) ratkaisu # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - tarkistaa

Molemmat ratkaisut ovat oikein.