Mitkä ovat monimutkaisia numeroita?

Monimutkaiset numerot ovat lomakkeen numeroita # A + bi # missä # A # ja # B # ovat todellisia lukuja ja # I # on määritelty # I = sqrt (-1) #.

(Edellä mainittu on monimutkaisten numeroiden perusmäärittely. Lue lisää niistä.)

Paljon samanlainen kuin kuinka me merkitsemme reaalilukujen joukon # RR #, merkitsemme monimutkaisten numeroiden joukon # CC #. Huomaa, että kaikki todelliset luvut ovat myös monimutkaisia numeroita, kuten mitä tahansa reaalilukua # X # voi olla kirjoitettu # X + 0i #.

Monimutkainen numero # Z = a + bi #, sanomme sen # A # on todellinen osa monimutkainen numero (merkitty # "Re" (z) #) ja # B # on kuvitteellinen osa monimutkainen numero (merkitty # "Im" (z) #).

Monimutkaisten toimintojen suorittaminen on samanlainen kuin binomialle suoritettavien toimintojen suorittaminen. Kaksi monimutkaista numeroa # z_1 = a_1 + b_1i # ja # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (muistaa # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((A_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((A_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Jaotteluun käytimme sitä # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Monimutkainen numero # Z = a + bi # Kutsumme #biseksuaali# monimutkainen konjugaatti of # Z # ja merkitse sitä #bar (z) # Se on hyödyllinen ominaisuus (kuten yllä) on #zbar (z) # on aina todellinen numero.

Monimutkaisilla numeroilla on monia hyödyllisiä sovelluksia ja attribuutteja, mutta usein se, mitä usein esiintyy, on niiden käyttö faktorointipolynomeissa. Jos rajoittumme vain todellisiin lukuihin, polynomi, kuten # X ^ 2 + 1 # ei voida ottaa huomioon, mutta jos sallimme monimutkaiset luvut, niin meillä on # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Itse asiassa, jos sallimme monimutkaiset luvut minkä tahansa yhden muuttujan polynomi # N # voi olla kirjoitettu tuotteen # N # lineaariset tekijät (mahdollisesti joidenkin ollessa samoja). Tämä tulos tunnetaan nimellä algebran peruskäsite, ja kuten nimestä käy ilmi, on erittäin tärkeä algebraa varten ja sillä on laaja sovellus.