Mikä on sqrt: n (9-x ^ 2) integraali?

Aina kun näen tällaiset toiminnot, tunnistan (harjoittelemalla paljon), että sinun pitäisi käyttää erityistä korvausta täällä:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Tämä saattaa näyttää oudolta, mutta näet, miksi teemme tämän.

#dx = 3cos (u) du #

Korvaa jokainen integraaliin:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Voimme tuoda 3 ulos integraalista:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Voit laskea 9 ulos:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Tiedämme identiteetin: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Jos ratkaisemme # Cosx #, saamme:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Tämä on juuri se, mitä näemme integraalissa, joten voimme korvata sen:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Saatat tietää, että tämä on perusvastaava, mutta jos et tee sitä, voit selvittää sen näin:

Käytämme identiteettiä: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (voit tehdä tämän korvaamalla)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Nyt meidän täytyy vain tehdä # U # toimintoon. Katsotaanpa, kuinka määritimme sen:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Saada # U # tästä on otettava käänteinen toiminto #synti# molemmilla puolilla tämä on # Arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Nyt meidän on lisättävä se ratkaisuun:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2kpl (x / 3)) + C #

Tämä on lopullinen ratkaisu.