Miten ratkaista inte ^ xcosxdx?

Vastaus:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Selitys:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Käytämme integrointia osittain, mikä todistaa #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Käytä integrointia osien avulla # U = e ^ x #, # du = e ^ x t, # "d" v = cos (x) "d" x #, ja # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Käytä osien uudelleen integrointia toiseen integraaliin # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, ja # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Nyt muistakaa me määrittelimme # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Näin ollen edellä oleva yhtälö tulee seuraavaksi (muistetaan lisätä integraation vakio):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1/2 e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Käyttämällä de Moivren identiteettiä

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # meillä on

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

mutta #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx-kxx) #

ja lopuksi

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #