(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Tee se ???

Vastaus:

#a = 1, b = 1 #

Selitys:

Perinteisen tavan ratkaiseminen

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Ratkaise nyt # A #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # mutta # A # täytyy olla todellinen, joten ehto on

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # tai # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

nyt korvaa ja ratkaisee # A #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # ja ratkaisu on

#a = 1, b = 1 #

Toinen tapa tehdä sama

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

mutta

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

ja päättäminen

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Vastaus:

D. On olemassa yksi ratkaisupari # (a, b) = (1, 1) #

Selitys:

Ottaen huomioon:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Huomaa, että voimme tehdä siitä mukavan symmetrisen homogeenisen ongelman yleistämällä:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

sitten asetettu # C = 1 # lopussa.

Laajennetaan tämän yleistetyn ongelman molempia puolia:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Vasemman puolen vähentäminen molemmilta puolilta:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (valkoinen) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (valkoinen) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Todelliset arvot # A #, # B # ja # C #, tämä voi olla vain, jos kaikki # (A-b) #, # (B-c) # ja # (C-a) # ovat nolla ja siten:

#a = b = c #

Sitten laittaa # C = 1 # löydämme ainoan ratkaisun alkuperäiseen ongelmaan # (a, b) = (1, 1) #