Mikä on ratkaisu differentiaaliyhtälöön dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Vastaus:

Yleinen ratkaisu on:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Selitys:

Meillä on:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Voimme kerätä termejä samankaltaisille muuttujille:

# 1 / (y-1) ^ 2 d / dt = e ^ t #

Mikä on erotettavissa oleva ensimmäisen asteen tavallinen epälineaarinen differentiaaliyhtälö, joten voimme "erota muuttujat" saada:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Molemmat integraalit ovat standarditoimintoja, joten voimme käyttää näitä tietoja suoraan integroitumiseen:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Ja voimme helposti järjestää # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Johtaminen yleiseen ratkaisuun:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Vastaus:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Selitys:

Tämä on erotettavissa oleva differentiaaliyhtälö, joka tarkoittaa sitä, että se voidaan kirjoittaa muodossa:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Se voidaan ratkaista integroimalla molemmat osapuolet:

#int f (y) dy = int g (x) x # #

Meidän tapauksessa meidän on ensin erotettava integraali oikeaan muotoon. Voimme tehdä tämän jakamalla molemmat puolet # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Nyt voimme integroida molemmat osapuolet:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int t

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Voimme ratkaista vasemman käden olennaisesti korvaamalla # U = Y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Korvaaminen (ja vakioiden yhdistäminen) antaa:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Kerro molemmat puolet # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Jaa molemmat puolet # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #